Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
EfIx (X) = Т? w*> (х-Щ f„ (Щ
S=I ^ J \ J
P=I S=I
я
J W<T) (a) fxX (X—a) da +О (Bf1T-I),
— оо<А,<оо. (5.8.18)
Остаточный член равномерен по X.
Выражение (5.8.18) показывает преимущества сглаживания и в этом случае. Как видно из (5.8.18), математическое ожидание приблизительно равно взвешенному среднему интересующего нас спектра мощности с ядром W(T)(a). Эффективная ширина ядра имеет порядок 0(ВТ), поскольку
(Л л 1/2 / со ч1/2
J ) [l-cosa]^>(a)daj> ~ Br|y $ aW (a)ЛьJ . (5.8.19) Для следствия 5.8.2 введем величину
00
W9= S рГ(Р)ф. (5.8.20)
Следствие 5.8.2. Предположим в. дополнение к условиям теоремы 5.8.2, что
со
S |ря||Г(Р)|ф<оо; (5.8.21)
— СО
тогда
E/J& (*) = f„ W + L bgrtf цу $ (Я) + О (fffi + О (Вт*Т-*)
(5.8.22)
для — сю < Я < оо.
Ввиду того что W (P) = И7 (— Р), члены выражения (5.8.22) с нечетными р обращаются в нуль. Мы видим, что, выбирая W(P) так, чтобы Wp = Oy P=U P-I/мы можем уменьшить смещение до порядка Вт"1- Такое W(P), очевидно, должно принимать кое-где отрицательные значения, что в некоторых ситуациях может привести к определенным сложностям. Для Р = 3из .(5.8.22) следует
Е/йкЬ) = fxx (*) + Y BW* d^fP- + О (S3,) + О (BfT-*). (5.8.23)
Как следует из выражения (5.8.19), эффективная ширина ядра Wm(a) равна BTYW2/2y что еще раз подчеркивает зависимость смещения от ширины ядра и гладкости fxx (а) в окрестности точки X.
В § 3.3 обсуждался вопрос о том, какое ядро W{T) (а) более выгодно применять при сглаживании периодограммы. В большинстве случаев этот вопрос может быть решен путем разумного выбора, фильтра, применяемого перед оценкой спектра мощности. Как было показано, главный член Ef хх (X) равен
л
J (k—a) fxx (a) da. (5.8.24)
-Я
Если fxx(a) не зависит от а и fxx (а) = fxx, то выражение (5.8.24) равно fxx. Отсюда следует, что чем ближе fxx(o) к константе, тем меньше смещение. Предположим, что ряд X(t)y t = Oy 4=1, ..., подвергается действию фильтра с передаточной функцией A (X). Обозначим ряд на выходе через Y (t), t = 0, ± 1, .... Из упр. 2.8.1 следует, что спектр мощности этого ряда задается выражением
fYY(X) = \A(%)\*fxx{X), (5.8.25)
или, после обращения,
/«M = M(X) 1"ViY W при А {Х)фО. (5.8.26)
Пусть iyy(X) является оценкой спектра мощности ряда Y(t). Из соотношения (5.8.26) следует, что в этом случае выражение
\А(Х)\~*№(Х) (5.8.27)
будет оценкой для fxxfi)- Математическое ожидание этой оценки, как уже отмечалось выше, равно
\А(Х)\~* j W™(X-a)fYr(a)da
-Jt
Jt
= |Л(Я)|-2 J W(T)(Х—а)\А (а)|2 fxx(a)da. (5.8.28)
-Jt
Если A(X) выбрано так, что | Л (а)|2/хх(а) —величина постоянная, то (5.8.28) будет в Точности равно fxxW- Отсюда следует, что в том случае, когда fxx(a) отличается от константы, мы можем попытаться найти передаточную функцию А (X), такую, чтобы спектр фильтрованного ряда Y (t) был близок к константе; тогда в качестве оценки для /х^(А,)мы возьмем \ A(X) \~2 f(yy (X). Такая процедура, предложенная в работе Press, Tukey (1956), называется оценкой спектра с помощью предварительной фильтрации или приведения к белому шуму. Обычно фильтр определяется из некоторых частных соображений, однако Парзен и Тьюки предложили общую процедуру, которая состоит в определении фильтра по авторегрессионной схеме. Для, некоторого т определим а(Л(1), а{Т) (т) так, чтобы минимизировать выражение
T-I
2 [X(t)—a'T)(l)X(t-l)—... —а™(т)X(t — т)]2; (5.8.29)
t—m при ЭТОМ
Y(t) = X (0—ат (l)X(t-l)—... —а(Л (т) X (t—m),
t = m, 7-1, (5.8.30)
удовлетворяет изложенным выше соображениям. В случае когда ряд X(t) является приблизительно авторегрессионной последовательностью порядка т (см. § 2.9), эта процедура будет близка к оптимальной. Она дает неплохие результаты также и в других случаях.
Аналогичным образом для ряда Y(t), полученного из X(t) фильтрацией с передаточной функцией A (X) по формуле (5.3.20), имеем
(Я) і І і4 (*,)!"/JR(X), (5.8.31)
откуда
Г-1
s=I
_ * X W™ I Л (щ |' № (щ . (5.8.32)
Это обсуждение приводит к следующей оценке для fxx(^): I a (j,) I - JJ W™ I А \%№ (Щ , (5.8.33)
причем функция A(X) выбрана так, чтобы | A (a) \2fxx(a) было по возможности близко к константе. Эта оценка, основанная на дискретном преобразовании Фурье значений X (/), t = 0,..., T — 1, включает сглаживание взвешенных ординат периодограммы. В том случае, когда fxx(a) имеет острый пик около точки 2jiS/T=?X, мы можем выбрать А (а) такой, чтобы A (2jiS/T)=0. После_этой процедуры сумма (5.8.33) не будет содержать ординат периодограммы Ixx(2nS/T). Заметим, что ордината 1хх(0) была опущена еще в оценке (5.8.16). Согласно обсуждению теоремы 5.2.2, это эквивалентно изучению периодограмм значений
X(o-
-схГ) при t-
= 0,
где
t =0
(5.8.34)
(5.8.35)
Аналогичная ситуация возникает в том случае, когда удаляется из оценки ордината I{xx(2nS/T). Если значения d{P (2ns/T), s = 0, S—1, S+l, Т/2, не меняются при умножении ряда на ехр {± i2nSt/T), t = 0, Т— Г, то устранение ординаты периодограммы /? (2nS/T) эквивалентно изучению периодограмм значений X(t)y t = 0, T — 1, из которых вычтена синусоида наилучшего вложения частоты 2tlS/T. Идею исключения некоторых частот при сглаживании периодограмм рассматривали Priestley (1962b), Bartlett (1967), а также Brillinger, Rosenblatt (1967b). Некоторые свойства предварительной фильтрации обсуждались в работе Akaike (1962а). Иногда мы настолько хорошо можем представить себе функцию А (Х)> что из ее вида можно непосредственно делать вывод относительно спектра ряда Y(t), не производя его деления на |Л(?і)|2.