Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
ffeTT + 0(r"J)' если M О (mod я), 0/(Л(Х)= ,^? (5.4.11)
Ш + 0(Г-ї), если Я,?* О (mod я),
и
cov {/S(X), /$(|і)} = 0(Г-*)- (5.4.12)
В случае Х=?0 (тоА2п) осреднение 2т+I ординат соседних периодограмм привело к уменьшению дисперсии такой оценки в 2т+1 раз по сравнению с дисперсией периодограммы. Таким
Рис. 5.4.4. Нижние частоты десятичного логарифма f(px (X) для месячных средних чисел солнечных пятен за 1750—1965 гг. с осреднением пяти ординат перио-дограммы. (По горизонтали—ча-.005 .010 .015 .020 .025 .030 .035 .040 .045 стоты в ДИКЛ/месяц.)
образом, предполагаемый выбор величины т должен быть столь большим, чтобы был достигнут необходимый уровень устойчивости оценки. Однако при обсуждении теоремы 5.4.1 было показано, что смещение оценки fxx (X) может возрастать с возрастанием параметра т, следовательно, в качестве т должно быть выбрано некоторое промежуточное значение.
Дисперсия величины fxx (X) в случае X = O (mod я) приблизительно удваивается по сравнению со случаем X^O (mod я). Это является отражением того факта, что в первом из этих случаев оценка использует вдвое меньше независимых переменных. Асимптотическое распределение для fxx (X) в некоторых условиях регулярности дает
Теорема 5.4.3. Пусть X(t), 2 = 0,+1, ..'.,—действительный ряд, удовлетворяющий условию 2.6.1, и величина fix (X) определяется формулами (5.4.1)-(5.4.3), причем 2ns(T)IT —>X, когда T -+оо. Пусть Xj ± Xk =ё? 0 (mod2я) для 1 < / < k < /. Тогда /Xx(X1), ...,fix(Xj) асимптотически независимы и fix(X) имеет асимптотическое распределение fxx(^)llm+2/(^ + 2), если
5.Or
X^O (mod л), и асимптотическое распределение fm (X) %Im/(2m), если X = O (mod я).
• Эта теорема будет особенно полезной позднее для нахождения доверительных границ оценки /хх(Х).
На рис. 5.4.3 представлен десятичный логарифм от fix (X), полученной по формулам (5.4.1) — (5.4.3) для рядов ежемесячных чисел солнечных пятен, периодограммы которых были даны на рис. 5.2.3 и 5.2.4. Статистика fix(X) вычислена для 0<Л<я, т = 2, 5, 10, 20. Хорошо видно, что с,возрастанием т устойчивость оценок возрастает. Из рисунка видно также, что значительная масса fxxify сосредоточена в нуле. Это означает, что соседние значения ряда имеют тенденцию сосредоточиваться в кластеры. Это замечание подтверждается исследованием самого ряда (рис. 1.1.5). Периодограмма и графики, соответствующие т = 2, 5, 10, указывают на возможный пик в спектре в окрестности частоты 0.015л. Эта частота соответствует одиннадцатилетнему циклу солнечной активности, упоминаемому Швабе в 1843 г. [Newton Н. W. (1958)]. Рассматриваемый пик исчезает в случае т = 20, что указывает на тот факт, что смещение становится значительным. Так как этот пик представляет особый интерес, изобразим график fix (X) в случае т = 2 в увеличенном масштабе на рис. 5.4.4. На этом рисунке можно также различить пик около частоты 0.030л, что является первой гармоникой частоты 0.015л.
Рисунки 5.4.5 — 5.4.8 представляют спектральные оценки рядов ежемесячных средних количеств осадков, периодограммы которых были приведены на рис. 5.2.2. Статистика вычислена при т = 2, 5, 7, 10. Как и прежде, увеличение параметра т ведет к повышению устойчивости оценки. Значительный пик соответствует частоте один цикл в год, что вполне оправдывается сезонной природой ряда. Для других значений X величина fix (X) близка к константе, из чего можно заключить,, что ряд приблизительно представляет собой годовую компоненту, наблюдаемую на фоне белого шума.
График на рис. 5.4.9 является эмпирическим подтверждением справедливости теоремы 5.4.3. Это график значений fix (2яя/Г), T = 2592, S = Г/4, (Г/2) —1, ежемесячных чисел солнечных
пятен, распределенных, по %10. Величина fxx (X) была образована сглаживанием 15 прилегающих ординат периодограмм. Если fXx(ty близка к константе для я/2 < X < л, что предполагается в исследуемом случае, и, согласно теореме 5.4.3, величину fix (X) можно приблизить распределением %|0, то предлагаемый график значений Должен быть близок к прямой линии. Это- можно наблюдать на рис. 5.4.9. Правая часть графика, однако, обладает некоторой
152 5. Оценка спектра мощности --і---:-
ю1 її—і—і—і—I—I—I—I—I - l~ J-1—і-1—
4
2
2--------------------
ю-2 il_LJ—I_I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—
0 .! .2 ,3 Л .5
Х/2Я
Рис. 5.4.5. Оценка (к) составного ряда осадков для Англии и Уэльса за 1789—1959 гг. с осреднением пяти ординат периодограммы (логарифмический масштаб). (По горизонтали—частоты в цикл/месяц.)
Lw/
Ы!
и
ЦТ I
у чу
I 41
•wf-t
о л .2 .3 .4 .5
Л/2*
Рис. 5.4.6. Оценка /? (^) составного ряда осадков для Англии и Уэльса зэ 1789—1959 гг. с осреднением одиннадцати ординат периодограммы (логарифмический масштаб). (По горизонтали—частоты в цикл/месяц.)
(0і і
~ 1.5
1.5 1(Г1 I
0 .1 .2-.3 .4 .5
K/Zn
Рис. 5.4.7. Оценка /? (к) составного ряда осадков для Англии и Уэльса за 1789—1959 гг. с осреднением пятнадцати ординат периодограммы (логарифмический масштаб.) (По горизонтали —частоты в цикл/месяц.)
