Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Приведенная в (5.10.7) оценка спектральной функции Fpx(X) иногда может оказаться очень полезной для обнаружения периодических компонент ряда и для оценки достоверности предлагаемой модели, в особенности модели белого шума. На рис. 5.10.1 даны значения Fpx (X)IFpx (п) у 0<Х^я, ежемесячных средних чисел солнечных пятен. Периодограмма этого ряда была приведена в § 5.2. График спектральной функции исключительно сильно растет в низких частотах и несколько слабее в верхних. Если fxx (^) постоянна в некотором интервале, то FXX(X) растет линейно в этом же интервале. Этого нельзя сказать о графике на рис. 5.10.1, за исключением разве лишь частот выше я/2.
Выборочная ковариационная функция Cpx(и), u = 0t ±1, также может оказаться весьма полезной при изучении структуры ряда. На рис. 5.10.2 и 5.10.3 представлены графики срх(и) для рядов соответственно ежегодных и ежемесячных средних чисел солнечных пятен. Хорошо видна заметная корреляция значений ряда с расстояниями, кратными приблизительно 10 годам. Пик в нуле на рис. 5.10.3 указывает на присутствие ошибки измерений.
Асимптотические свойства ковариационной функции рассматривались Слуцким (1934) для случая гауссовских процессов с нулевым средним. Bartlett (1946) распространил асимптотическую теорию моментов второго порядка на случай линейных процессов с нулевым средним. Вопросы асимптотической нормальности рассматривали Walker (1954), Lomnicki, Zaremba (1957b, 1959), Parsen (1957), Rosenblatt (1962), Anderson Т. W., Walker (1964). Как отмечал Akaike (1962a), иногда удобно рассматривать Cpx(и), и = 0у ±1, как стационарный временной ряд со спектром мощности 2nT-1fxx(X}2. Это соответствует сохранению только второго члена в правой части (5.10.15). ВгШ-ingen (1969с) указал две формы сходимости с вероятностью единица и вывел слабую сходимость оценки к гауссовскому процессу.
Рис. 5.10.2. Оценка с<рх(и) ковариационной функции для среднегодовых чисел солнечных пятен за 1750—1965 гг. (По горизонтали—запаздывание в годах.)
1600
—
1400
1200
1000
-\
800
- \
IS 600 400
: у /\
200
- \ / \
0
-^—J—-
.-200
V /
-400
С
I I I I I I I •
20 40 60 80 100 120 140
Рис, 5.10.3. Оценка с<Рх(и) ковариационной функции для среднемесячных чисел солнечных пятен за 1750—1965 гг. (По горизонтали—запаздывание в
месяцах.)
5.11. Отступление от принятых предположений
В этом параграфе мы обсудим действие некоторых элементарных отступлений от принятых в данной главе предположений. Одним из важных допущений является
EX(t)=cx, * = 0,±1, (5.11.1)
и
І \с„ (и)\< оо, (5.11.2)
h = -00
где схх (и) = cov {X (t + и), X(t)\ для t, и = 0, ±1, ....
Прежде всего рассмотрим случай, когда условие (5.11.2) не выполняется: Пусть j
X (t) = S Rj cos (<*jt + ф/) + в(і), * = 0, ± 1, ... , (5.11.3)
где Rj, (Oj постоянны, фу равномерны на (—я, я), / = 1, а ряд е(?) удовлетворяет условию 2.6.1. В таком случае ковариационная функция ряда (5.11.3) представляется в виде
j
схх W = IZ Щ cos ®ju + (и), (5.11.4)
/=і
откуда следует, что условие (5.11.2) не выполнено. Заметим, что спектральная функция F^x (к), существование которой доказывается в теореме 2.5.2, представляется в виде
Fxx
J л
(*)8=??*^-®/)'+0<Ь<я, (5.11.5) /=і о
#(<*)={
где
1 при а>0,
п (5.11.6)
О при а < О, х 1
a fee (Ц означает спектральную плотность ряда z(t), ^ = 0^ + 1, .... Обобщенная производная выражения (5.11.5) равна
j
~ Z #/6 (* - ®/) + /ее (X), (5.11.7)
где О ^ X ^ я, a S (X)—дельта-функция Дирака. Функция (5.11.7) имеет бесконечные пики в точках о)у, /=1, ...,</, над ограниченной непрерывной функцией fee (?)- Говорят, что ряд, задаваемый выражением (5.11.3), имеет смешанный спектр.
Для рассматриваемого ряда из выражения (5.11.3) следует,
что
dp (X) = ? X (t) ехр \-iXt}
* = 0
J
«уХ#Дехр{%}Д<П(А_со,.)
Wp~{-%} AW(A. + ®,)] + ^ (Я-), (5.1L8)
где Д<Г)(А) определено в формуле (4.3.14). Функция А(Г) (X) имеет большую амплитуду только для А,=0 (mod 2л). Это означает, что
{\ RjTехр {t>y} при Xіму,-
^Wi ' D т і ., і . . (5-11.9)
I у #уТ ехр {—іфД при А, і—(йу,
в то время как
dp(X)=d?>(X) + 0(l) (5.11.10)
для IX ± (оу I > б/Т, —я < X< я. Как следует из формулы (5.11.9), изучая значимые пики периодограммы Ilxx(ty, можно оценить значения со,-. Значения Rj можно оценить с помощью выражения
21 dp (со.)|/Т = VSnW(Uj)IT. (5.11.11)
По существу эту процедуру использования периодограмм предложил Schuster (1898) для отыскания скрытых периодичностей ряда. Формула (5.11.10) показывает, что мы можем оценить fge(X) сглаживанием периодограммы, избегая при этом частот в непосредственной окрестности (Dy. Равномерно осредняя V ординат периодограммы Tpx(2ns/T) (s целое), из теоремы 4.4.1 и выражения (5.11.10) получим, что эта оценка асимптотически равна fxx(^)%lv/(2v) в случае X^O (modя); случай X = O (mod я) рассматривается аналогично.