Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бриллинджер Д.Р. -> "Временные ряды. Обработка данных и теория." -> 46

Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.

Бриллинджер Д.Р. Временные ряды. Обработка данных и теория.: Монография. Перевод с английского.. Под редакцией А.Н. Колмогорова — М.: Мир, 1980. — 536 c.
Скачать (прямая ссылка): 1980brillindzher_d_vremennye_ryady_obrabotka_dannyh_i_teoriya.djvu
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 163 >> Следующая


5.4. Сглаженная периодограмма

В этом параграфе мы делаем первый серьезный шаг для получения оценки спектра мощности. При обсуждении теоремы 5.2.4 отмечалась неэффективность периодограммы как оценки спектра мощности fxx (X) ввиду того, что дисперсия этой оценки в некоторых вполне приемлемых условиях регулярности асимптотически равна fxx (X) даже при сколь угодно большой длине выборки. Во многих ситуациях мы требуем от используемых нами оценок гораздо большей точности и надеемся, что такие оценки существуют. Теорема 5.2.6 намечает путь построения улучшенной оценки.

Пусть s(T)—целое число, такое, что 2ns (T) IT близко к X. Тогда по теореме 5.2.6 2т+1 прилежащих значений периодограмм Tpx (2п [s (T) + j]/T) J = O9 ± 1, ..., ± т, асимптотически независимы с распределением (X) Хг/2, если 2 [s (7) +/] ^ О (mod Г), / = 0, ±1, ...ґ±т. Таким образом, мы имеем (2т+1) асимптотически независимых оценок /и (?), что приводит нас к оценке вида

если X^ 0(modя), что есть просто осреднение ординат периодограммы в окреадеости точки X. Дальнейшее исследование теоремы 5.2.6. приводит к рассмотрению оценки

№ (X) = \А (X) I2 Ipx (X) + О (T-»/» log T)9 (5.3.20)

т

SW = (2m+1)- ? /й(^1?!П±Л) , (5.4.,)

/=-т

т

если 1K = O1 ± 2л, ± 4я, ... или K = ± я, ± Зге, ... и Т — четное, и Kk W = (2/n)-1 X { /? - ¦f + 9) + /? (Я + f -2f) }

= т-?/й(Я-^ + 2^), • (5.4.3)

если K = ±п, ±3я, ... и Г —нечетное.

Легко видеть, что оценка (5.4.1)-(5.4.3) имеет те же свойства

Рис. 5.4.2. Грифики ядра ВТт(К) для T = Il и т=1, 2, 3.

неотрицательности, периодичности и симметрии, что и сама функция fxx (К). Основу этой статистики составляют* выражения d^P (2nsIT)9 S = O9 T-X9 которые при достаточно больших Г могут быть вычислены посредством алгоритма быстрого преобразования Фурье. Исследуем кратко статистические свойства последнего выражения.

Для теоремы 5.4.1 нам понадобится ядро Фейера

М*Н <2«T)-» (5.4.4)

введенное в § 3.3. Положим

АТт (X) = (2m+ I)-1 ? FT(k-^l\ (5.4.5)

и пусть

/ -1 т ч

Br» W = (2тН ? +IUr(^-?).

т (5 4 6)

ДЛЯ — OO < Я< оо.

Принимая во внимание выведенные в § 3.3 свойства, получим, что АТт(Х), ВТт(к) и СТт(к) являются неотрицательными функциями с периодом 2я, интеграл от которых по периоду равен единице. Практически они сосредоточены на интервале (— 2я/я/Г, 2пт/Т) для —я<Х<я. На рис: 5.4.1 график ATm (X) приводится для значений T=Il, т = 0, 1, 2, 3. Как видно, эта функция приближенно имеет прямоугольную форму, что можно было ожидать исходя из ее определения (5.4.5). На рис. 5.4.2 график ВТг> (X) приводится для значений T = 11, m = 1, 2, 3. Здесь также видно, что эта функция имеет приближенно ту же форму, что и АТт (X), за исключением того, что в непосредственной окрестности нуля она сама близка к нулю.

Математическое ожидание оценки fxx (X) дает

Теорема 5.4.1. Пусть X(t), t = 0, ±1, ...,—действительный ряд, такой, что EX(t)=cx, и coy {X (t + и), X (t)} = cxx(u) для и = 0, ±1, ... . Предположим, что

2 \сХх(и)\<оо. (5.4.7)

m = -со

Пусть fxx (X) задается выражениями (5.4.1)-(5.4.3). Тогда

я

EfIx W = j Атт (a) fxx{^ft-a) da,



если Х^0(тос12я),

я

E/gW= S Brm(a)fxx(k-a)da,



если X = O (mod 2я) или А, = ±я, ±3я, ...и T— четное,

я

EfSW= S CTm(cc)fxx(k-a)da,



если X= ± я, ±3я, ... и T—нечетное. (5.4.8)

Взвешенная сумма интересующего нас спектра мощности с весом, сконцентрированным в полосе шириной 4ят/Т с центром в точке X,

ХфО (mod я), является математическим ожиданием величины fxx (X). В случае X = O (mod 2я) математическое ожидание E fxx (X) остается взвешенной суммой fxx(a) с весом, сконцентрированным в окрестности ,точки X, с той разницей, что значения fxx(a) в не" посредственной окрестности 0 частично исключаются. Это связано с тем, что нам неизвестно значение EX (t). Если т не слишком велико по сравнению с Г и fxx (а) достаточно гладкая, то Щ{хх(Х) окажется достаточно близким к fxx (X) в обоих случаях. Сравнение выражений (5.2.6) и (5.4.8) позволяет сделать вывод о том, что смещение fix (X) у как интеграл, взятый по существенно большему промежутку, вообще говоря, будет больше, чем смещение Ixx (X). Подробно смещение будет рассматриваться позднее. Из последней теоремы следует

Следствие 5.4.1. Дополнительно предположим, что X — 2ns (T)/Т = О (T"1) и m является константой по отношению к Т. Пусть также

21" I \схх(и) I < °°> (5-4.9)

U

тогда

EfS (X) = f„ W+ 0(T-») (5.4.10)

для —оо < Х< оо. В пределе fxx (X) есть асимптотически несмещенная оценка fxx(X).

Таким образом, рассматривая первый момент при т не слишком большом по сравнению с Т, мы получим, что fxx(ty является вполне приемлемой оценкой /хх(Х). Оценка приемлема даже в том случае, когда EX (t) неизвестно и X-= О (mod2rc). Относительно второго момента этой оценки справедлива

Теорема 5.4.2. Пусть X(t), t = 0, ±1, ..., — действительный ряд, удовлетворяющий условию 2.6.2(1). Пусть fxx (X) задано выражениями (5.4.1)-(5.4.3) с X — 2ns (T) = O (T"1). Пусть X ± \і ф О (mod 2я) и т не зависит от Т. Тогда
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 163 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed