Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
— оо<а<оо, удовлетворяет условию 5.6.1. Положим
где
2я ? Y1 ?Л (-f) (X (Q- <#¦>) ехр {- іW}
t J \ t
^=Z*(t)^w/[E*(i
, (5.6.16)
(5.6.17)
Положим
/& <*)=тг ? W"" (>"?) (т-5) • (5.6.18)
S
Яг/сть B1-—* О, B7T -+ооприТ^оо. Тогда fPx (к), • • •. $х (A7) имеют совместное нормальное распределение, причем
Літ EfxT)x (X) ^ fxx (К)
T -> оо
(5.6.19)
lim B2-TcOVlZS(X), /S(n)}
Г -> со
= 2я[т|{Я,-|і} + т|{Я + |і}] \h(tydt
(5.6.20)
для — оо < A, [X < оо.
По сравнению с выражением (5.6.12) предел дисперсии в сглаженном случае отличается от несглаженного случая множителем
і г 1 Hg
j h{tydt\ j h (tydt
(5.6.21)
По неравенству Шварца этот множитель больше или равен 1. В случае когда мы используем сглаживание с помощью косинуса по первым и последним 10-процентным временным интервалам, величина этого множителя равна 1,116. Есть основания надеяться, что в большинстве ситуаций значительное уменьшение смещения в сглаженном случае будет с запасом компенсировать это возрастание дисперсии. В табл. 3.3.1 приведены некоторые полезные временные окна.
5.7. Доверительные интервалы
Для того чтобы получить представление о возможной близости оценки к параметру, часто желательно по имеющейся оценке иметь доверительные интервалы для параметра. В этой связи могут использоваться асимптотические представления, полученные в предыдущем параграфе для различных спектральных оценок. Прежде всего введем некоторые обозначения. Пусть z (а), %*(а) обозначают числа, такие, что
P [г < z (а)] = а (5.7.1)
P [Xv < Xi («)] = «. (5.7.2)
где z—величина со стандартным нормальным распределением, a Xv—величина, имеющая распределение хи-квадрат с v степенями свободы.
Рассмотрим сначала оценку § 5.4
т
т <*) = (2m + 1)- E '® (5.7.3)
/ = — т
для числа 2ns (T)/T9 близкого к кщЬ 0 (mod я). В теореме 5.4.3 предлагалось аппроксимировать распределение этой оценки распределением fxx (І) xlm+2/(4m + 2). Такая аппроксимация приводит к следующему 100у-процентному доверительному интервалу для
(4m+2)/&fl) (4«+2)/&(Х) ._ _ ..
, + < fx* < у2 /1-Т\ ' (5J-4)
xIm+2 [-J1) W2 [-^- J
что после логарифмирования дает
. logіТх (X)-log {X!m+2 (І±І)I (Am + 2)} <log/^W<log/^W-log{xL+2 (Ц^)/(4т + 2)}. (5.7.5)
В случае Я = 0 (mod я) число степеней свободы и множители перед х2 изменятся в. соответствии с теоремой 5.4.3.
На рис. 5.7.1 приведены 95-процентные границы около оценки, соответствующей случаю т = 2 на рис. 5.4.4. Эти границы можно установить двумя способами. В верхней части рис. 5.7.1 действуем в соответствии с выражением (5.7.5). В нижней части рисунка устанавливаем границы около сильно сглаженной спек-
1.0«-*-1—J-1_і_і t t t
0 .005 .010 .015 .020 .025 .030 .035 .040 .045 К/211
Рис. 5.7.1. Два способа построения 95-процентных доверительных границ около приведенной на рис. 5.4.4 оценки спектра мощности. (По горизонтали—частоты в цикл/месяц.)
тральной оценки; такая процедура имеет свои преимущества-при» наличии больших пиков.
В § 5.5 мы рассматривали оценку
т
1ф0 (mod я), (5.7.6)
включающую взвешенные ординаты периодограмм. Было найдено, что ее асимптотическое распределение является взвешенной суммой экспоненциальных величин. С таким распределением, вообще говоря, неудобно работать, однако при обсуждении теоремы 5.5.3 предлагалось приближать его распределением fxxWXv/v, где
v = -7T— (5.7.7)
/= -т
в случае Яф 0 (mod я). Выбрав такое значейие для v, мы приходим к следующему ЮОу-про-центному доверительному интервалу для log fxx (X):
log/ja(X)-log{xl(i±^)/v}
< log(Я) < log f5a (Я) -log{x2v(^p)/v}. (5.7.8)
Если Гу=1/(2т+1), / = 0, ±1, ±m, то интервалы (5.7.8) и (5.7.5) совпадают.
Если v велико, то lg{%vM имеет асимптотически нормальное распределение со средним 0 и дисперсией, равной 2 (0.4343)2/v. Поэтому для асимптотического распределе-
ния log fxx (^) мы приходим к следующим границам для доверительного интервала:
tmW}<logfxx(X) < log/$ (X)-г (Ьї) (0.4343) ]/jm П (5.7.9)
Из последних непосредственно получаем приближение, предлагавшееся в § 5.6. Оценка, рассматривавшаяся там, имела вид
№(Ц = ^Т?к^(Х-ЩіхЧ(Щ. " (5.7.10)
S= 1
Следствие 5.6.3 приводило нас к таким границам для 100у-про-центного доверительного интервала:
/--с-
/1 i \ 1 / 2л \ w (P)2 lg/i»(b)-* (Ф) (0-4343) V —^f-<'8/я(Ч
< Ig/Fi (X) + г (0.4343) Y 2ПК,т • (5-7-1»)
Ввиду
m
? W) = X [-у- ^(Г) (^-^)]2 J ^ (P)»dp (5.7.12)
интервалы (5.7.11) и (5.7.9) необходимым образом согласованы. Интервалы (5.7.9) и (5.7.11) соответствуют случаю ХфО (mod я). В случае X = O (mod я) дисперсия оценки приблизительно удваивается, что указывает на необходимость расширения интервалов в Y2 раз.
В том случае, когда можно ожидать, что fxx(a) достаточно гладкая в некоторой окрестности точки Я, возможны некоторые дополнительные процедуры. Мы можем оценить дисперсию величины f(xx (X) по изменению f{Px (а) в окрестности точки X. Такая процедура, например, может быть использована в интервале частот я/2 < X < я для ранее рассматривавшегося ряда ежемесячных средних чисел солнечных пятен.
