Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
где Xn задаются формулой (5.1.13). Для получения выходного сигнала у закрытого конца трубы устанавливается микрофон.
В заключение этого параграфа продемонстрируем некоторые примеры ковариационных функций и соответствующих им спектров мощности (рис. 5.1.3). Например, если функция схх(й) сконцентрирована в нуле, то fxx(h) близка к константе. Если схх(и) медленно убывает, когда и возрастает, то їХх(Ц конценірируется
Рис. 5.1.3. Некоторые ковариационные функции cvx(u) и соответствующие им спектры мощности fxx(M-
около X = O, ±2д, ... . Если схх(и) осциллирует около нуля, когда и возрастает, то fxxft) несет существенную массу вне точек X = 0 (mod 2я).
Теперь мы переходим к рассмотрению оценок fxx(ty> —°° < <Я<оо, и их различных статистических свойств. При желании читатель может обратиться дополнительно к некоторым из следующих работ, касающихся оценок спектров мощности: Tukey (1959а, b), Jenkins (1961), Parzen (1961), Priestley (1962а), Bingham и др. (1967), Cooley и др. (1970).
5.2. Периодограмма
Пусть X (t) — стационарный ряд со средним Cx и спектром мощности fxx (X), —оо < X < оо. Предположим, что имеются значения X(O), X (Г—1) и нужно построить оценку fxxft)-Прежде всего мы можем вычислить конечное преобразование
Фурье
T
d$ (X)= 2ехр{— iXt}X(t). (5.2.1)
Из теоремы 4.4.2 следует, что эта переменная имеет следующее асимптотическое распределение:
(0, 2nTfxx (X)), ХфО (mod я), N1 (TcXi 2nTfxx (X)), X = O9 ±2я," ..., (5.2.2) N1(O, 2nTfxx(X)), X= ±п, ±3я,
Эти распределения предполагают рассмотрение статистики іРх(Х) = (2лТ)^\сіР (X) 1«
= (2яГ)-х
Г-1
S ехр {—Ш} X (t)
t = 0
(5.2.3)
как оценки fxx(X) в случае X ^ О (mod 2я).
Статистика Ipx(X), задаваемая равенством (5.2.3), называется периодограммой второго порядка, или, более кратко, периодограммой величин X(O), X(T-I). Эту статистику ввел Schuster (1898) для отыскания скрытых периодичностей случая
^W = SPyCOS(CD/ + *,.), * = 0, Г-1, (5.2.4)
когда IXX (X) имеет пики в точках X^±(o/(mod2n).
Заметим, что Ipx(X), заданная формулой (5.2.3), имеет те же свойства симметрии, неотрицательности и периодичности, как и fxx(X).
На рис. 5.2.1 представлена диаграмма ежемесячного количества осадков в Англии за период с 1920 по 1930 г.; конечное преобразование Фурье dP (X) значений за 1780—1960 гг. было вычислено с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье. Вычисленная после этого периодограмма Ipx (X) приводится на рис. 5.2.2. Она выглядит довольно нерегулярной функцией X. Эта нерегулярность появляется также на рис. 5.2.3 и 5.2.4, где представлены соответственно нижние и верхние частоты рядов ежемесячных средних чисел солнечных пятен; они содержат каждый по 100 ординат периодограмм (см. рис. 1.1.5 для зна-
80
40
л А у
...... .j
r-4
f
1920 1921 1922 1923 1924 1925 1926 1927 1928 1929 1930
Год
Рис. 5.2.1. Составной индекс количества осадков для Англии и Уэльса за
1920—1930 гг. -
10*
.J-
-4-
-fc-
4-|
—i-J
-1
•і-
шиш 1¦1¦¦1.¦I ¦ !«її* w її ¦¦ \ і івгжиірпіг їм і OTBIi ¦¦ і Щішг штшшшщггт івгі
ПІШИМИ H ' 1I Г|' 'ПН Hf MM ЦїТ'ІҐ НІШ ІГі'Чі'ИІІ HIf <I..J'4I 1III-I ¦i і 'і і , ' 1 Mill J "'Г Iі \\\ї I1IiIII J1IT 1Ii Г I
¦ ¦-, і . i I I і iB Bl і її I bnw«IJ '!I i i Il I ¦ k . Ir ¦i 'il I •i . 1 I IIMI 1¦h < *l I
і ¦i і і ia ma і ¦ і и in і і M 11 ¦ii ¦ і і і - їм ¦ ijiii 11 ні її її її' к ¦Hi и 1¦h , і ¦ і I Il I . І llll I Il IUII Mil M MHIIU il 11 Il НЫ1 Ii Л I III . I ЦІЛКІ Il I 1¦IiII Willi
IUIAII JIII IIIUMIIlllBlilNlliillllllillL UIIIJI і 1¦JLfIiUIJ
io-
K/2n
Рис. 5.2.2. Периодограмма составного количества осадков для Англии и Уэльса за 1789—1959 гг. (логарифмический масштаб). (По горизонтали—частоты в
цикл/месяц.)
чений среднегодовых чисел). WoId (1965) приводит некоторые
другие примеры периодограмм. В каждом из этих примеров ІххЩ крайне нерегулярна по А,, несмотря на тот факт, что fxx (к) предположительно достаточно регулярная функция К. Из этого заключаем, что 1{хх(к) является неэффективной оценкой fXx(ty, поэтому мы вынуждены перейти к рассмотрению некоторых других оценок. Чтобы попытаться понять причины нерегулярности и таким образом построить лучшие статистики, прежде всего приведем несколько теорем относительно статистического поведения
/<г> iu
'xx (А).
\/гп
Рис. 5.2.3. Нижние частоты десятичного логарифма периодограммы месячных средних чисел солнечных пятен за 1750—1865 гг. (По горизонтали—частоты
в цикл/месяц.)
3.0
Х/27г
Рис. 5.2.4. Верхние частоты десятичного логарифма периодограммы месячных средних чисел солнечных пятен за 1750—1865 гг. (По горизонтали—частоты
