Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
4.8.35. Предположим, что ряд Y (t), /=0, ±1, задается формулой (2.9.15). Покажите, что его можно записать, используя представление Крамера ряда X(t), t=0, ±1, следующим образом:
Y(t)= 2 [.. SeXp[I(K1+... +Kj)VAj(X1, ...,Xj)UZx(K1)^AZx(Kj)'
j=o j j
4.8.36. (а) Пусть W имеет распределение Wr (n, e) и а, 0, y» 6 суть /--компонентные векторы. Покажите, что
cov {aTwp, ytW6} = п (ат2у) (Рт2б) + п (aTS6) (pTSY). .
с
(b) Пусть W имеет распределение Wr (я, S) и а, р, Y' ^ СУТЬ комплексные г-компонентные векторы. Покажите, что
cov {5TWP, ytW6} = п (5TSY) (6Т20}.
4.8.37. Пусть X (t), t=0, ±1, ... ,— действительный ряд с нулевым средним, удовлетворяющий условию 2.6.1. Пусть и — неотрицательное целое число. Тогда теорема 2.9.1 показывает, что ряд Y (t) = X (t-\-u)X(t) также удовлетворяет условию 2.6.1. Используя это, а также теорему 4.4.1, покажите, что
m{Px(u)=T-i 2 * (' + «)* (О t=o
является асимптотически нормальной величиной со средним схх (и) и Дисперсией
Г 2л
Ц- J (l + cos2iia)/„(a)«<fa
LO
2л 2л T
.+J J ехр{*Ма-р)}/етет(а, Р)Жыф . 0 0 J
ОЦЕНКА СПЕКТРА МОЩНОСТИ
5.1. Спектры мощности и их интерпретация
Пусть X(t), Z = 0, ±1, ...,— действительный временной ряд со средним значением
EX(0 = ? * = 0, ±1, (5.1.1)
и ковариационной функцией
cov {X (t + u)y X(t)} = cxx(u), t, и = 0, ±1, ... . (5.1.2)
Предположим, что для ковариационной функции выполняется неравенство
2 \схх(и)\'<оо, (5.1.3)
U = - oo
тогда спектром мощности ряда X(/), t = О, ±1, ...,назовем преобразование Фурье
od
/^(X) = (2:*)-1 2 ехр{— їки}схх(и), — оо < А,< оо. (5.1.4)
m = - oo
Как было отмечено в § 2.5, спектр мощности есть неотрицательная четная функция от Я.с периодом 2л. Из четности и периодичности следует, что в качестве основной области определения fxx(k) можно, если это нужно, взять отрезок [0, я].
Если выполнено условие (5.1.3), то fxx(ty есть*ограниченная равномерно непрерывна^ функция. Обращая соотношение (5.1.4), получаем для ковариационной функции выражение
л
схх (и)= \ ехр {iau\ fxx (a) da, а = 0, ±1, ... . (5.1.5)
-л
В частности, полагая и = О, получаем
л
DX(o= S/и («)<**• (5-1.6)
-Я
5.1. Спектры мощности и их интерпретация
129
Как было показано в § 2.8 и 4.Q, если ряд фильтруется линейно и инвариантно по времени, то спектр мощности преобразуется элементарным образом. Пусть, в частности, Y (t), t = 0, ±1, есть результат фильтрации ряда X(t), ^ = 0, ±1, с передаточной функцией A(K)9 —оо<Х<оо. Тогда, согласно примеру 2.8.1, для спектра мощности ряда Y(t), t = 0, ±1, выполнено соотношение
fYYm = \A(K)\*fkx(K)y -оо<Х<оо. (5.1.7)
Из соотношений (5.1.6) и (5.1.7) следует, что
DY(t)=\\A(a)]>fxx(a)da. (5.1.8)
— Jt
Из (5.1.8) вытекает одна из возможных интерпретаций спектра мощности. Пусть для —я<а<я и достаточно малого А
Г (4A)-I/* при |а±Х|<Д, А(а) = < (5.1.9)
4 ' \ О в противном случае,
а вне интервала (—я, я] эта функция продолжена периодическим образом. Такая передаточная функция соответствует фильтру, пропорциональному полосно-пропускающему (см. § 2.7). Таким образом, ряд Y(t),J = 0, ±1, пропорционален X(t,K)— компоненте частоты К рйда X(t), t = 0> ±1, ... (см. §4.6). Из выражений (5.1.8) и (5.1.9) следует, что
DY(t)^fxx(K), t = 0, ±1, ... . , (5.1.10)
Это означает, что fxx (К) можно интерпретировать как величину, пропорциональную дисперсии компоненты X(t, К) частоты К ряда X(t), ^ = 0, ±1, .... В частности, заметим, что
EY(t) = A(0)cx. (5.1.11)
Это среднее равно нулю, если К отстоит от 0, ±2я, ... дальше, чем на А; точно так же
EY (О1 і far (*¦)." ^ °> ±2я, * = 0, ±1, ... . (5.1.12)
Пусть теперь Y (t) -—напряжение, приложенное к участку изображенной на рис. 5.1.1 электрической цепи, содержащей сопротивление 1 Ом; в таком случае мгновенная рассеиваемая энергия равна Y (t)2. Равенство (5.1.12) показывает, что fxx(K) можно интерпретировать как ожидаемое количество мощности, рассеиваемое в электрической цепи компонентой ряда X(t) частоты К. Это вскрывает причину того, почему fxx(K) часто называют спектром «мощности».
VCt)
. Я*1 Ом
Рис. 5.1.1. Простейшая электрическая цепь, к которой подводится зависящее от времени t напряжение Y (t).
Рис. 5.1.2. Приблизительная форма передаточной функции системы, состоящей из трубы, обдуваемой с одного конца потоком воздуха.
Для иллюстрации спектра мощности Roberts, Bishop (1965) рассматривали колебательную систему в виде цилиндрической медной трубы, обдуваемой потоком воздуха на своем открытом конце; эту систему можно рассматривать как процесс X^(t). Выходным сигналом является давление у закрытого конца трубы, а передаточная функция напоминает представленную на рис. 5.1.2. Пики передаточной функции находятся в точках
^ = ?-^. (5-1.13)
где /—длина трубы, с — скорость звука и /г=1, 2, ... . Таким образом, давление на дне трубы будет пропорционально
2/XX(K)9 (5.1.14)
п
