Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Продолжая наше рассмотрение, мы можем обратиться к статистикам
af (и) = (271)-1 J Af (а) ехр {iua} da (10.5.7)
о
и
2я
bf (и) = (2П)'1 J Ъ<р (а) ехр {iua} da, (10.5.8)
о
^ = 0, ±1, где Ap(X), Bf(X) суть решения уравнений (10.4.5) и (10.4.6). Эти статистики являются оценками зависящих от времени коэффициентов канонических рядов.
По аналогии с тем, как поступают в многомерном статистическом анализе, мы могли бы заняться определением принимающих действительные значения мер связи между рядами X(t) и Y (t), таких, как А-статистика Уилкса
IKl-m*))' (10-5-9)
І
векторный коэффициент удаленности
20-Му W) (Ю-5-10)
или векторный коэффициент корреляции
±UVvJW)- (10.5.11)
Выборочные оценки этих коэффициентов окажутся полезными при проведении оценки степени связи между частотными составляющими рядов X(Z) и Y (t) на частоте X.
Miyata (1970) привел пример применения эмпирического канонического анализа к некоторым рядам в исследовании по океанографии.
10.6. Упражнения
419
10.6. Упражнения
10.6.1. Покажите, что если в теореме 10.2.1 положить q = r> то получаются результаты теоремы 8.2.1, касающиеся множественной регрессии.
10.6.2. Если в теореме 10.2.1 взять Г = 2уу, то критерий (10.2.5) будет инвариантным при невырожденных линейных преобразованиях вектора Y.
10.6.3. Докажите, что при выполнении условий теоремы 10,3,1 справедливо равенство [X1 (к) = I Ryx (X) | 2, если s = 1.
10.6.4. Докажите, что при выполнении условий теоремы 10.3.2 справедливо неравенство | \ij (к) | ^ 1.
10.6.5. Установите, что при условиях теоремы 10.3.1 канонические когерентности M7(X), /=1, 2, инвариантны при невырожденных фильтрациях как ряда X (t)9 ^ = 0, ±1, так и ряда Y(^), t = 0, ±1, ... .
10.6.6. Предположим, что выполнены условия теоремы 10.3.1 и, кроме того, схх(и)> Cxy (и)> CYY («) = 0 при и Ф 0. Тогда [Ъ(и)} и [с (и)}, указанные в этой теореме, обладают свойством: Ъ(и) — 0 и с (и) = 0 при и ф 0.
10.6.7. Покажите, что когерентность \Ryx(k)\2 можно интерпретировать как квадрат наибольшей из канонических корреляций {X (t, Я), X (t, к)н\ с {YIt9K)9 Y(t,k)"}>
10.6.8. Докажите, что если сгладить во всей частотной области оценку (8.5.4), применявшуюся в теореме 10.4.3, то предложенный'метод исследования сведется к стандартному анализу канонических корреляций выборочной ковариационной матрицы
Ьй(0) c(&(0)J4
10.6.9. Допустим, что прежде чем вычислять оценки теоремы 10.4.2, ряд домножен на множитель сходимости h(t/T). Пусть выполнены условия этой теоремы. Докажите, что возникающие асимптотические ковариации оказываются умноженными на
\h(tf МО* dtYl
10.6.10. Предположим, что имеется / групп r-компонентных векторов, представляющих данные наблюдений, и каждая группа содержит по К наблюдений. Эти комплексные векторы обозначим буквами Y,^, /=1, J; 6 = 1...../С. Пусть
Y.. = /-1 J Yy.,
/ = 1 _
Sir=22(Y/*-Y/'> (Y/*-Y/-)T.
І к
Ss = /C2(Yy.~Y..)(Y/.-Y..)T.
/
а) Покажите, что линейные дискриминантные функции pTY, совпадающие с экстремумами отношений pTS#p/P1S^P (суммы квадратов, взятых из разных
групп, делятся на суммы квадратов внутри группы), являются решениями определяющего уравнения
(S5-VS^)P = O
при некотором V.
b) Введем (/ — 1)-компонентную векторную индикаторную переменную X = [X/]. такую, что Xj=I, если Y входит в /-ю группу, и X/ = 0 в противном случае, /= 1, / — 1. Покажите, что рассмотренный выше анализ эквивалентен каноническому корреляционному анализу величин
!j , Z = I. ..о /; Л«1.....К;
см. Glahn (1968).
c) Укажите обобщение этих результатов на случай стационарных временных рядов Yy^(O» ^ = 0, ±1, ... .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ
< главе 2
Доказательство теоремы 2.3.1. Следует непосредственно рассмотреть соответствующие коэффициенты ряда Тейлора и срав-шть их с выражением (2.3.1).
Доказательство леммы 2.3.1. Начнем с необходимости условия. Если разбиение не будет неразложимым, то, согласно 2.3.5), разности Ф (^y1)—Ф (/>,), l</i?=/2<//» і = Ч> -..,ї0, >удут порождать только величины Sm' —Sm», т!', mn=mit ..., mN, і не существует способа получить sm' — Sm- при т' = т1У ..., mN і т"Фт1У ..., mN.
Теперь о. достаточности условия. Предположим, что Ф(г?7і)
-Ф('і7.). 1</ls9fe/2<^?» '=1» •••.A ПОрОЖДаЮТ Sm1-S^,
[ ^m1=^=m2^M. Но тогда любая пара Pms Pm- множеств раз-5иения окажется сообщающейся, иначе не порождалась бы разность Sm' —sm». Тем самым показана неразложимость.
Продемонстрируем справедливость другой формулировки лем-ш. Если не выполнено свойство неразложимости разбиения, то, з силу (2.3.5), ?(/^)—ф(/>/), (і, J)9 (Ї,П€РЯ, т = тІУ ...9mN9 іорождают лишь разности J1.— tf9 і, і' =іІ9 і0, и величины tt — ti'9 i = ii, ..., *0, і' ФЧ> • • •» *о» получить нельзя.
С другой стороны, если i|? (г/у) — г|) (ггу) порождают все величины tt — ti'9 то должна существовать некоторая последовательность множеств Рт9 начинающаяся с і и кончающаяся і'; поэтому все множества сообщаются.
Доказательство теоремы 2.3.2. Проведем индукцию по /. Согласно теореме 2.3.1, имеем при каждом у
