Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
-p|-pl)PftPJ/" + 0(«-2) (10.2.87)
при /, k, I = 1, ..., s.
Отметим также, что асимптотически величины
/ = 1, ..., S9 имеют комплексное нормальное распределение. Кроме того,
D arth |1}/2=~+ 0(м-2). (10.2.89)
James (1964) приводит точное распределение /= lf ..., S9 и в комплексном случае.
10.3 Ряды канонических переменных
Рассмотрим задачу, которая упоминалась во введении к этой главе: отыскивается вектор ц с s компонентами, <7Хг-фильтр \Ь(и)} и 5Хс7-фильтр {с (и)}, такие, что если
Z(t) = 2b(t-u)X(u)9 (Ю.3.1)
и
то ряд
V(O = I* +Sc(^-M) 6 (W) (10.3.2)
и
будет близок к Y(0, * = 0, ±1.....Предположим, что степень близости рядов измеряется величиной математического ожидания
E {[Y(O-Y* (0P[Y(O-Y* (/)]}, (10.3.3)
которое можно представить в виде
S tr{fy_y.,y_y.(a)}da, (10.3.4)
о
если EY(O = EV(O-Теорема 10.3.1. Пусть
[?$]. (Ю.3.5)
t~0, ±1, — стационарный в широком смысле ряд с r + s компонентами, имеющий среднее
[с*] • <10-3-6>
абсолютно суммируемую автоковариационную функцию и матрицу спектральной плотности
—оо < к < оо. Предположим, что матрица \хх (к) невырожденна. Тогда при заданных q, г, s (<7<r, s) следующий выбор у, \Ь(и)} и {с (и)} минимизирует (10.3.3):
b (а) = (2я)-1 ^ В (а) ехр {iua} da
(10.3.8) (10.3.9)
и
где
с (и) = (2л;)-1 J С (а) ехр {iua} da,
о
(10.3.10)
B(X) =
* (Я) fx* (Я)
-і
(10.3.11) (10.3.12)
С (Я) = [V1 (X)... V, (Я)].
Здесь V7(A,) есть \-й собственный вектор матрицы
iyxWfxxify'^xrity' /=Ь •••» s- My (Я) обозначает соответствующее собственное значение, то минимум (10.3.3), который достигается при указанном выше выборе, равен
В этой теореме приходится рассматривать собственные значения и собственные векторы некоторых матриц, построенных по матрице спектральной плотности. Теорема 10.3.1 представляет собой обобщение теорем 8.3.1 и 9,3.1, которые вытекают из нее, если соответственно взять q = s или Y(Z) = X(O с вероятностью 1.
Нетрудно видеть, что ряд ошибок
8(O = Y(O-Y* (0 (10.3.14)
имеет среднее значение 0 и матрицу спектральной плотности fee W - fуу (к)-С (к) В (к) iXY(k)-fYX (к) Ъ(к)С(ку + + С (к) В (к) ixx (к) В (к) С (к)*=
- f YY W-S її, (Л) Vy (Jl) VjW^YY W^YX W hX ІXY (*) +
—оо<Я<оо. Эта матрица является суммой двух слагаемых, различных по характеру. Первое из них
fYY (X) —іуХ (X) fxx (X) -l iXY (X) (10.3.16)
появлялось в§ 8.3 как матрица спектральной плотности ошибки, связанной с регрессией Y (t) на ряд X(t), * = 0, ±1» .Оно представляет собой нижнюю грань степени аппроксимации, не-улучшаемую посредством выбора q, и одновременно выступает как мера • качества линейной аппроксимации ряда Y (t) рядом Х(0> * = 0, ±1, ... . Второе слагаемое
2 Иу M (X) Vjjffi (10.3.17)
і>я
при фиксированном q будет мало, если малы собственные значения fiy (X), j > q. Оно является убывающей функцией q, и при q^r или qобращается в 0.
Критерий (Ш.З.З) выбран так, что различные компоненты Y (t) входят с равными весами. Такое условие.чможет оказаться нежелательным в случае, когда дисперсии разных компонент существенно отличаются по величине или когда сложна структура корреляционных связей компонент. Для ряда целей может оказаться полезным критерий достижения минимума выражением
J tr {fir(a)-*/2 fY.Y», y-y* (a) iyy (a)-*/*} da. (10.3.18)
0
В этом случае получается
Следствие 10.3.1. При выполнении условий теоремы 10.3.1 выражение (10.3.18) будет минимальным, если выбрать фильтры {Ъ(и)\ и {с (и)} по формулам, приведенным в этой теореме, но только в качестве Vj(X), 7=1, ..., s, следует брать собственные векторы матрицы іУу(Х)-і!ЧуХ(X)fxx(X)"lfxy(X)\YY(X)-V*.
Процедура аппроксимации, о которой говорится в следствии, обладает тем цреимуществом, что она остается инвариантной при невырожденной фильтрации рядов, см. упр. 10.6.5. Упомянутые здесь собственные векторы играют важную роль и в следующем утверждении.
Теорема 10*3.2. Пусть выполнены условия теоремы 10.ЗЛ. Рассмотрим ряды ?у (t), t\/(t), t = 0, ±1, с действительными значениями, имеющие представления
I1 (t) = J AjTap ехр {iat\ dZx (a) (10,3.19)
U
T)7(O = S BjWTexp{iat\dZy(a). (10.3.20)
о
Предположим, что A7 (а) и ВДа) удовлетворяют условиям А;. (а)тАу (а) = 1, B7- (а)т B7- (а) == 1, и ряды ?у (t), T]7 (t) таковы, что их когерентность \ 'R^j (X) |2 максимальна, а когерентность с рядами ?л(t), r\k(t), k < /, / = 1, ..., min (г, s), нулевая. Тогда ?7-(О и T]7(O являются соответственно решениями уравнений
W W-1 W(X) W(X)-1 W W A7 (Я) = vlj (X) Aj (X) (10.3.21)
и
'W(X)"1 fух (X) W (X)~x W (X) By(X) = IV (X) By (X), (10.3.22)
/ = 1, min(r, s); здесь (X)^(X2 (X)^... . Ярі/ з/пож жа/с-симальное значение \ RtPi(X)]2 равно P7(X).
V
Решение уравнений (10.3.21) и (10.3.22) тесным образом связано с отысканием собственных значений и собственных векторов матрицы, фигурирующей в следствии 10.3.1, которые удовлетворяют соотношению
\уУ(Х)-^ fYX (X) ixx (Я)-* iXY(X) iyy(X)-*/2 Vy (X) = Vy (X) Vy (X).
