Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Возвращаясь к исследованию асимптотических распределений ^P(X) и A^(X), B^(X),. сформулируем такой результат.
Теорема 10.4.2« Предположим наряду с условиями теоремы 10.4.1, что собственные# значения P7(X1J, /=1, min(r, s), различны при m= 1, ..., М. Тогда случайные величины р(р(кт)9 Ap(XJ, В(/г>(XJ, т = 1, ...,М, имеют совместное асимптоти-чески нормальное распределение и обладают следующей асимпто-
10.4. Построение оценок и их асимптотические свойства
415
тинеской ковариационной структурой: lim ВТТ CW^p(IJ, ^ (XJ}
I 0 ПРИ/=1^ (10•4•2O)
V О при }ф1г, '
lim ВгГсот{^> (Я,.), A<ftr,(A,„)} = 0, (10.4.21)
lim B7-TcW {(Xf(^J, В'Р(Я„)} = 0. (10.4.22)
А также (зависимость оцениваемых параметров распределений от Кт опускаем)
lira 5ГГ сот {Af(XJ, А<Р(?ОН
T-+ оо
' 2я S (a)2daг) {X„-XJ AJf^A. (1 -^) ? (Hy-Ji,)-
__ ІФІ
X(V/ +Vi-^^AKAfeAJ-1 . при / =
2я J (а)2 da ті {Хда +Xn} (fiy—\ik)~2(— tf\ik—^1 + 4^ +
+ti + Vl-Vj-Vk) АлА/ (A}^xAy)"1/2 (А^А,)-1/2
при (10.4.23)
Аналогичные выражения для cov {A^(XJ, B^(XJ}, cov {Bf(XJ, Bf} (Xn)} можно вывести из формул (10.2.84)--(10.2.87). Из выражения (10.4.20) вытекает, что
DarthKfif (X)
'Bf1T-1K \ W (a)2da при X^O(modn), Bf1T-^nJ W (а)2 da при X = О (mod я),
величины arthVvV W асимптотически нормальны.
Используя эти результаты, можно построить приближенные доверительные границы для канонических когерентностей.
Результаты другого рода, касающиеся предельных распределений, можно получить, рассматривая спектральную оценку (8.5.4), соответствующую обычному усреднению фиксированного количества ординат периодограммы.
Теорема 10.4.3. Пусть векторный ряд (10.4.2) с г+ s компонентами удовлетворяет условию 2.6.1 и обладает матрицей
спектральной плотности (10.4.3). В качестве оценки этой матрицы возьмем (8.5.4), где /я, s (T) — целые числа и 2ns (T)[T -+X при T —*оо. Далее, пусть
Wxx
(10.4.25)
имеет распределение (2т+ I)-1Wf+8 ((2т +1), (10.4.3)) при X^0(m6dn)u(2m)-xWr+s(2m, (10.4.3)) при X = 0(modji). Тогда при T—*оо величины \ip(X), Ap(X), Bp(X) сходятся по распределению к величинам Aj, Ву, которые являются решениями уравнений
Wj&W^W^W^Ay = 1*А (10.4.26)
(10.4.27)
Распределение для ?у, /==1, 2, приводят Constantine
(1963) и James (1964). Результаты теорем 10.4.2 и 10.4.3 согласованы. При больших т отождествим, как это делалось в §5.7,
2т+1
B7T
? [Я* rcn (X-|.5)]8 2*$ Г (а)»*/
(10.4.28)
Тогда из теорем 10.2.3 и 10.2.6 вытекает, что Pp(X), A1P(X) и В(/}(Х) асимптотически нормальны и асимптотическая структура их первых и вторых моментов нам известна.
10.5. Дальнейшие свойства
канонических переменных
Вначале сопоставим введенные в этой главе канонические ряды с обычными каноническими переменными для векторных случайных величин с действительными компонентами. Пусть X(t, X) и Y(/, X) обозначают составляющие с частотой X соответственно рядов Х(0, * = 0, ±1, и Y(t), t~0, ±1, • Тогда (см. § 4.6 и § 7.1) векторная случайная величина
Mt Л) " X (U Х)я Y(*f Я) У(і,Х)н1
(10,5.1)
имеет ковариационную матрицу, пропорциональную матрице
• Refxx(X) lmfxx(X) — lmixx(X) Refхх(X) ReIyx(X) lmiYX(X) -lmiYX(X) ReiYX(X)
RefXY (X) lmfXY(X) ¦lmiXY(X) ReiXY(X) Re fyY (X) Im iyy(X) lmfYY(X) RefYy(X)
-lf„(^ WW* J
(10.5.2)
При стандартном исследовании канонических корреляций величины (10.5.1) мы стали бы рассматривать собственные значения и векторы матриц, построенных с помощью (10.5.2), точнее говоря, нам понадобились бы собственные значения и векторы матрицы
Pit(^y^^^yxi^ihxW^hyW^^YY (Х)*]~1/2
= [iYY(l)-^ іуХ{к)іхх(Х)'ЧХу(Х)іуу(Х)^. (10,5.3)
В соответствии с леммой 3.7.1 они, по сути дела, представляют собой собственные значения и векторы матрицы fpy/2fуХіххіХуі9^/2-Резюмируя сказанное, можно заметить, что канонический анализ в частотной области ряда
ГХ (01
±1,
(10.5.4)
может трактоваться как обычный анализ канонических корреляций для каждой из частотных составляющих рядов Х(0> Y(O и их преобразований Гильберта.
Возможна и другая точка зрения: считать, что величины, появляющиеся в теореме 10.4.3, получаются в результате канонического корреляционного анализа комплексных случайных величин типа тех, которые рассматривались в теореме 10.2.6. В частности, теорема 4.4.1 позволяет предположить, что если S(T)—целое число и 2ns(T)/T~ \ф0(modя), то значения
d<xr>( d'P(
2я [s (r) + s]\-i
2п [s (T) +s]\
V-
, s = 0, ±1.....±т, (10.5.5)
будут близки к выборке объема 2т +1 из генеральной совокупности
(о 2»Trf»(X)fwW"n
(10.5.6)
Следуя указаниям, приведенным перед теоремой 10.2.6, мы пришли бы к величинам типа тех, о которых идет речь в теореме 10.4.3.
Заметим, что читатель, имеющий в распоряжении программу для вычисления на ЭВМ канонических корреляций величин с действительными компонентами, может воспользоваться ею, а не составлять новую программу для комплексного случая, учитывая упомянутое выше соответствие с действительным случаем.
