Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство теоремы 37.3. Пусть \ik обозначает выражение (3.7.11), a ak обозначает (3.7.12). Нетрудно проверить, что Zak = \ikak.
Доказательство теоремы 3.7.4. Положим B = Z-A. По теореме Куранта —Фишера [см. Bellman (1960) и упр. ЗЛ0.16]
где D —произвольная (/ — I)X/-матрица, а х—любой ./-компонентный вектор. Следовательно,
4r,W= S Xj(t)exp{-at}t
то получим выражение
MBBT) = inf sup
поскольку ранг матрицы
не превосходит j + L—l. Проверка показывает, что этот минимум достигается, если взять матрицу А, задаваемую формулой (3.7.19). Таким образом, утверждение доказано.
Доказательство теоремы 3.8.1. См. книгу Bochner, Martin (1948), стр. 39.
Доказательство теоремы 3.8.2. Пространство V+(I) является коммутативным нормированным кольцом, см. Гельфанд и др. (1960). Пространство 9Jl максимальных идеалов этого кольца гомоморфно полосе в комплексной области —п < Re % ^ я, ІтЯ^О. Если этот гомоморфизм сопоставляет 9Jt число Я, то
m
X (M) =s 2 а (и) ехр {— i%u).
Именно так выглядят функции из V+ (/). Наше утверждение вытекает теперь из теоремы 1 книги Гельфанда и др. (1-960). Заметим, что можно было бы провести и прямое доказательство.
Доказательство теоремы 3.8.3. Пространство V(I) является коммутативным нормированным кольцом, а его пространство максимальных идеалов гомоморфно интервалу (—я, я] действительной прямой. Соответствие задается следующим образом:
х (Щ = 2 а (и) ехР {— іЩ
и
для всякого максимального идеала М. Величины х (M) являются элементами V(I). Теорема представляет собой следствие теоремы 1 из работы Гельфанд и др. (1964, стр. 82).
Доказательство теоремы 3.9.1. Рассмотрим пространство, состоящее из конечных линейных комбинаций величин Xj(t + s), / = 1, ... г, ? = 0, ± 1, ... . Можно снабдить это пространство внутренним произведением, полагая по определению
<У1в Г2> = lim (2S + 1 )"1 2 Y1 (S) Y2 (в).
S-> оо S= -S
Получившееся предгильбертово пространство может быть пополнено. Пусть H—соответствующее гильбертово пространство. В H существует такой унитарный оператор Ц, что
WXj (S) ^ Xj (t +s)y /=1.....г.
Согласно теореме Стоуна (см. Riesz, Nagy (1955)), оператор U обладает спектральным представлением
я
— Я
где E (Я)—спектральное семейство проекционных операторов в Н. Это семейство обладает свойствами: E (X) E (р) = E (р) E (X) = = E(min{/\,, р}), E (—Jt) = O, E(Jt) = / и E (Я) непрерывна по К справа. Кроме того, для F1(Z) и F2(O, принадлежащих Я, функция <Е(Х)Уі, У2> имеет ограниченную вариацию и
<UKi, r2> = S ехр {a} d <е (я,) у,, г2>. (*)
Если ввести Z1(X1 s) = E(X) Xj (s), тогда видно, что Xj (t + s) = U'Xy(s) = J exv{ikt\dZj(%; s)
-Jt
в смысле (3.9.6). Из равенства (*) также вытекает, что «у*(и)=8 S exp{iku\d<E(K)Xj(s), Xk(s)>
— Jt Jt
== J ехр{іЛн}гі<2у(Л; s), Z^(X; s>.
-я
Далее, сославшись на теорему Бохнера, мы можем отождествить Gjk(X), определенную формулой (3.9.4), со скалярным произведением <Zj(Xt s), Zk(X, s)>. Остальные утверждения теоремы вытекают из свойств спектрального семейства E(X).
Доказательство теоремы 3.9.2. Полагаем ZTx(k)=±X(0)+± ?х 0)ехр{-Ш}/(-«). -я<Я,<я.
1<|/|<Г
В силу (3.9.11) найдется такая Zx(X)9 что
я
J IZx(A.)pdX<oo
— Я
и
я
Hm J К Zx(A,)-ZHX)INa, = 0.
Возьмем теперь Z (ц так, чтобы выполнялось условие Zx (л) — — Zx (-я)= X(O). Тогда
? г 0 при ? = 0,
J exix{W}Zx(X)dX = <«P^x i х(<) при ІФ0.
•—Я v. tr
Отсюда получаем (3.9.13). Обратившись далее к проверке (3.9.15), имеем при и = 0, ±1, ...
я
Hm^ j ехр {iua)[Zx (а + є) — Zx (а —є)][Zx (а+є)—Zx(a— г)]*da
— я
я
= lim - (2я)-2 J ехр {ша} [2єХ(0) + ?x (s) ехр {~ tsa}^^J
є_> -я s
X [2еХ(0) + 2 X (/) ехр {i/a} 2-^]T<fa
- lim (2e)-» (2я)-*Ух (и+1) X (/)' 2 sin <"+ '>8 2 si" <» = mxx (и),
где тхх(и) задается формулой (3.9.3). Теперь учтем, чтс
я
п»и(и)= S ехр {^dGx, (а),
-Л
поэтому (3.9.15) вытекает из теоремы единственности преобра* зования Фурье—Стилтьеса.
К главе 4
Прежде чем перейти к доказательству теорем 4.3.1 и 4.3.2, установим ряд лемм.
Лемма Д4.1. Если ha(u) удовлетворяет условию 4.3.1 и если № If)=K(UT) для а=1, ...,г, то
12 hZ\t + U1)... fffHlx(t + U^1) hSJ! (t) ехр {-ІЩ - Hl\.ak (X) I
<*(іиіі+...+іи*-1І)
п/ш некотором конечном /f.
Доказательство. Рассматриваемая сумма не превосходит
S і с (/+u1).. X[I1 (t+u^1) -л<[» (t).. XIi1 (t) 11 л<г; (о і
<і22|л^(^ + «у)-^,(0І
а=\ t
при некотором конечном L. Для удобства предположим, что иа > 0. (Другие случаи рассматриваются аналогично.) Тогда, продолжая цепочку неравенств
k- 1 ыд- 1
<м22 2 \KT4t+v+\)-hp(t+v)\
а=\ t и=0 ?-1
<М 2 2|вариация М< # (К 1+• • •+К-їі),
G= 1 v
получаем нужное выражение.
Лемма Д4.2. Кумулянт, о котором идет речь в теоремах 4.3.1 и 4.3.2, дается выражением
S S
(2п)^нЧ1ак (К + ••• К)2 • • • 2 ехр {-; (X1Ii1 +... + V1^-O}
("і. •••> u^1)+ st,
где S = 2(Г-1) ы
s s
|вгК^2.-.§(|Иі|+...+|ил-х|)|сві...вА(Иі,
