Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
2q-2 S^2. Kq
Далее мы находим, что ковариационная матрица величины
имеет вид
V^
V^
1
(10.2.21)
Это обстоятельство служит осйованием для введения канони-ческих переменных (канонических величин)
%z;$ ом-»»
в данном определении «у и Py пропорциональны соответственно S^y2Uy и 2yy/2Vy. Коэффициенты «у, Py канонических переменных удовлетворяют условиям
Sx^S^S^S^ay = jiyocy при / = 1, ..., г (10.2.23)
и
2^2 ухЪх^хгЬ = HyPy при / = 1, ..., s. (10.2.24)
Мы будем нормировать их так, чтобы
aj«y-l, р|Р*=1, /=1, г; ft= I1 s. (10.2.25)
Заметим, что иногда предпочитают нормировку aJLxtftj = l9 PJSn-P*= 1- Однако выборочные свойства эмпирических переменных упрощаются, если применять условия (10.2.25). Введем еще
(І0.2.26)
i//a при /=1, min(r, s), 0 в остальных случаях.
Следствие 10.2.2. При выполнении условий теоремы 10.2.2
cor {?у, U = 6I/-*} пРи U k=l> г% (10.2.27)
cor {Су, (оЛ} = 8{/—ft} ру при /=1, г; A = I, s (10-2.28)
cor{о)у, <оЛ} = 6{/ — ft} яри /, A = I, s. (10.2.29)
Величина Ру = Н//2 называется /-й канонической корреляцией, это название оправдывается равенством (10.2.28). Подчеркнем,
что введенные нами переменные можно было бы получить и иначе, с помощью теоремы 10.2.1,'в которой для этого надо взять
Впервые канонические переменные ввел Hotelling (1936) как линейные .комбинации компонент X и Y, имеющих экстремальные корреляции. К этому направлению примыкают работы: Обухов (1938, 1940), Anderson (1957), Morrison (1967), Rao (1965), Kendall, Stuart (1968). В случае когда вектор (10.2.1) является гауссовским, первая каноническая переменная будет экстремальной в более широком классе величин, см. Lancaster (1966). Канонические переменные весьма полезны при изучении зависимостей между двумя случайными векторами [Hotelling (1936)], придискри-минантном анализе [Glahn (1968), Dempster (1969, стр. 186), Kshirsagar (1971)], при отыскании общих факторов [Rao (1965, стр. 496)], при предсказании значений одних величин по значениям других [Dempster (1969, стр. 176), Glahn (1968)] и при исследовании систем линейных уравнений [Hooper (1959), Hannan (1967с)].
Рассмотрим сейчас некоторые аспекты оценки указанных выше параметров. Для удобства предположим, что Mx = O и JXy=O. Пусть в нашем распоряжении имеется выборка
(10.2.30)
/ = 1, .... п, случайного вектора, удовлетворяющего условиям теоремы 10.2.2. Возьмем в качестве оценки (10.2.3)
2Х/Х7
*хх--п—»
2 х/ V/
^XY= -4~. (10.2.31)
У*- п
Тогда оценки ц/( «/t P7 определяются из уравнений
±х&г$у\&пР/'= (10.2.32)
при нормировке.
±у&ух%хх%хг&/=*Р/$; (10.2.33)
а/а,-!, р/р/- 1. (10.2.34)
(10.2.37)
Далее, при формулировке теоремы воспользуемся обозначениями
Теорема 10.2*3. Допустим, что величины (10.2.30) образуют выборку объема п из распределения
Предположим, что г и что собственные значения ty, /=1,..., s, различны. Тогда случайные величины а7, P7; / = 1, s} асимптотически нормальны, a {р,7, / — 1, ..., s) асимптотически не зависит от {а,-, P7; / = 1, s). Асимптотические моменты задаются формулами
Ej*, = 11, + 0(/1-1), (10.2.38)
Ea7=W7+ 0(п~г), (10.2.39)
Ep7 = P7+ 0(/1"»), (10.2.40)
MV {j*,, p-ikJ- — * •?/-*ММ1—|i,)Vn + О («"»), (10.2.41) cov {a,, at} = б {/—fc} (apxxuj) (1 —M7)
X 2 (Р? - "2 (Р/ + РЇ - 2P2P?) М7/я 4-(1 —в {/— k\) (р) - р|) -»
'=*/'
X (-pJpi-pJpt + 4pJp*+PHpt~PHP» W» +0 («-2) (10.2.42) /i/эы /, ?=1, ..., s, / = 1, ..., г;
C^v {а7, рА} = б {/-*} (a/2^«/)1/2 (PJSn*/)17' (1 -tV)
x2(P/--P?)-2(2-ps-pn^b?/« + (l-6{/-?}) (p)-pl)-'
X(aJ2^«y)1/2 (&2ккР*)1/2 (-pfp*-pfr* + pRp,?p3+2p3p* +
+ 2p7p^-p?-p|)aftb}/« + 0(n-2) (10.2.43)
яры j, k, I — 1, ..., s;
{P7, PJ = б {/-A} (PJ2kkP/) (1 -My) х2(р?-р1)-2(Р2/ + р!-2р2р?)ЬгЬ?/п + (1-6{А-/})(р?-р|)-» <*/
X (—Pjpl —PlPl + 4p?p'i + p) + Pi-PJ-P» Ш» + 0 (n"2) (10-2.44) n/зы /, A, /= 1, ..., s.
Асимптотические выражения для дисперсий рассматриваемых статистик можно теперь получить, пользуясь формулами (10.2.41)— (10.2.44). Отметим, что для \if
D arth ^ = 4 + 0 (д-2), (10.2.45)
поэтому проще будет рассмотреть преобразованную величину
arthji//2. Для практических целей, вероятно, полезнее всего асимптотические оценки моментов второго порядка, которые получаются при помощи „процедуры складного ножа"; см. Brillinger (1964с, 1966b).
Если s=l, можно заметить, что квадрат канонической корреляции Pi = (X1; является возведенным в квадрат коэффициентом множественной корреляции, рассматривавшимся в § 8.2.
Асимптотику ковариации величин (ыу- и \ik вывел Hotelling (1936). Hsu (1941) нашел асимптотическое распределение; Lawley (1959) отыскал кумулянты старших порядков; Chambers (1966) установил вид следующих членов в асимптотическом разложении для средних; Dempster (1966) рассмотрел проблему уменьшения отклонений; Hooper (1958) вывел формулы для асимптотических ковариации, предполагая фиксированными Ху., /= 1,...