Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бриллинджер Д.Р. -> "Временные ряды. Обработка данных и теория." -> 118

Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.

Бриллинджер Д.Р. Временные ряды. Обработка данных и теория.: Монография. Перевод с английского.. Под редакцией А.Н. Колмогорова — М.: Мир, 1980. — 536 c.
Скачать (прямая ссылка): 1980brillindzher_d_vremennye_ryady_obrabotka_dannyh_i_teoriya.djvu
Предыдущая << 1 .. 112 113 114 115 116 117 < 118 > 119 120 121 122 123 124 .. 163 >> Следующая


2q-2 S^2. Kq

Далее мы находим, что ковариационная матрица величины

имеет вид

V^

V^

1

(10.2.21)

Это обстоятельство служит осйованием для введения канони-ческих переменных (канонических величин)

%z;$ ом-»»

в данном определении «у и Py пропорциональны соответственно S^y2Uy и 2yy/2Vy. Коэффициенты «у, Py канонических переменных удовлетворяют условиям

Sx^S^S^S^ay = jiyocy при / = 1, ..., г (10.2.23)

и

2^2 ухЪх^хгЬ = HyPy при / = 1, ..., s. (10.2.24)

Мы будем нормировать их так, чтобы

aj«y-l, р|Р*=1, /=1, г; ft= I1 s. (10.2.25)

Заметим, что иногда предпочитают нормировку aJLxtftj = l9 PJSn-P*= 1- Однако выборочные свойства эмпирических переменных упрощаются, если применять условия (10.2.25). Введем еще

(І0.2.26)

i//a при /=1, min(r, s), 0 в остальных случаях.

Следствие 10.2.2. При выполнении условий теоремы 10.2.2

cor {?у, U = 6I/-*} пРи U k=l> г% (10.2.27)

cor {Су, (оЛ} = 8{/—ft} ру при /=1, г; A = I, s (10-2.28)

cor{о)у, <оЛ} = 6{/ — ft} яри /, A = I, s. (10.2.29)

Величина Ру = Н//2 называется /-й канонической корреляцией, это название оправдывается равенством (10.2.28). Подчеркнем,

что введенные нами переменные можно было бы получить и иначе, с помощью теоремы 10.2.1,'в которой для этого надо взять

Впервые канонические переменные ввел Hotelling (1936) как линейные .комбинации компонент X и Y, имеющих экстремальные корреляции. К этому направлению примыкают работы: Обухов (1938, 1940), Anderson (1957), Morrison (1967), Rao (1965), Kendall, Stuart (1968). В случае когда вектор (10.2.1) является гауссовским, первая каноническая переменная будет экстремальной в более широком классе величин, см. Lancaster (1966). Канонические переменные весьма полезны при изучении зависимостей между двумя случайными векторами [Hotelling (1936)], придискри-минантном анализе [Glahn (1968), Dempster (1969, стр. 186), Kshirsagar (1971)], при отыскании общих факторов [Rao (1965, стр. 496)], при предсказании значений одних величин по значениям других [Dempster (1969, стр. 176), Glahn (1968)] и при исследовании систем линейных уравнений [Hooper (1959), Hannan (1967с)].

Рассмотрим сейчас некоторые аспекты оценки указанных выше параметров. Для удобства предположим, что Mx = O и JXy=O. Пусть в нашем распоряжении имеется выборка

(10.2.30)

/ = 1, .... п, случайного вектора, удовлетворяющего условиям теоремы 10.2.2. Возьмем в качестве оценки (10.2.3)

2Х/Х7

*хх--п—»

2 х/ V/

^XY= -4~. (10.2.31)

У*- п

Тогда оценки ц/( «/t P7 определяются из уравнений

±х&г$у\&пР/'= (10.2.32)

при нормировке.

±у&ух%хх%хг&/=*Р/$; (10.2.33)

а/а,-!, р/р/- 1. (10.2.34)

(10.2.37)

Далее, при формулировке теоремы воспользуемся обозначениями

Теорема 10.2*3. Допустим, что величины (10.2.30) образуют выборку объема п из распределения

Предположим, что г и что собственные значения ty, /=1,..., s, различны. Тогда случайные величины а7, P7; / = 1, s} асимптотически нормальны, a {р,7, / — 1, ..., s) асимптотически не зависит от {а,-, P7; / = 1, s). Асимптотические моменты задаются формулами

Ej*, = 11, + 0(/1-1), (10.2.38)

Ea7=W7+ 0(п~г), (10.2.39)

Ep7 = P7+ 0(/1"»), (10.2.40)

MV {j*,, p-ikJ- — * •?/-*ММ1—|i,)Vn + О («"»), (10.2.41) cov {a,, at} = б {/—fc} (apxxuj) (1 —M7)

X 2 (Р? - "2 (Р/ + РЇ - 2P2P?) М7/я 4-(1 —в {/— k\) (р) - р|) -»

'=*/'

X (-pJpi-pJpt + 4pJp*+PHpt~PHP» W» +0 («-2) (10.2.42) /i/эы /, ?=1, ..., s, / = 1, ..., г;

C^v {а7, рА} = б {/-*} (a/2^«/)1/2 (PJSn*/)17' (1 -tV)

x2(P/--P?)-2(2-ps-pn^b?/« + (l-6{/-?}) (p)-pl)-'

X(aJ2^«y)1/2 (&2ккР*)1/2 (-pfp*-pfr* + pRp,?p3+2p3p* +

+ 2p7p^-p?-p|)aftb}/« + 0(n-2) (10.2.43)

яры j, k, I — 1, ..., s;

{P7, PJ = б {/-A} (PJ2kkP/) (1 -My) х2(р?-р1)-2(Р2/ + р!-2р2р?)ЬгЬ?/п + (1-6{А-/})(р?-р|)-» <*/

X (—Pjpl —PlPl + 4p?p'i + p) + Pi-PJ-P» Ш» + 0 (n"2) (10-2.44) n/зы /, A, /= 1, ..., s.

Асимптотические выражения для дисперсий рассматриваемых статистик можно теперь получить, пользуясь формулами (10.2.41)— (10.2.44). Отметим, что для \if

D arth ^ = 4 + 0 (д-2), (10.2.45)

поэтому проще будет рассмотреть преобразованную величину

arthji//2. Для практических целей, вероятно, полезнее всего асимптотические оценки моментов второго порядка, которые получаются при помощи „процедуры складного ножа"; см. Brillinger (1964с, 1966b).

Если s=l, можно заметить, что квадрат канонической корреляции Pi = (X1; является возведенным в квадрат коэффициентом множественной корреляции, рассматривавшимся в § 8.2.

Асимптотику ковариации величин (ыу- и \ik вывел Hotelling (1936). Hsu (1941) нашел асимптотическое распределение; Lawley (1959) отыскал кумулянты старших порядков; Chambers (1966) установил вид следующих членов в асимптотическом разложении для средних; Dempster (1966) рассмотрел проблему уменьшения отклонений; Hooper (1958) вывел формулы для асимптотических ковариации, предполагая фиксированными Ху., /= 1,...
Предыдущая << 1 .. 112 113 114 115 116 117 < 118 > 119 120 121 122 123 124 .. 163 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed