Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
рующие в (2.6.4), представляют собой распределения Шварца, порядок которых не превосходит 2. О распределениях или обобщенных функциях см. монографии Schwarts (1957, 1959). В случае k = 2 теорема 2.5.2 показывает, что эти обобщенные функции являются мерами.
В последних главах нам понадобится следующее условие, которое сильнее обычно используемого условия 2.6.1.
Условие 2.6.3. Векторный ряд X(O, t = 0, ±1, ...,с г компонентами удовлетворяет условию 2.6.1, и, кроме того, величины
Ck = sup 2 \Сах.....н(р1% V^1)I (2.6.7)
flf •¦•.«/^l.....
таковы, .что для z из некоторой окрестности нуля
5jCkzklk\<oo. (2.6.8)
k
Это условие позволит в дальнейшем получить оценки с вероятностью единица для различных интересующих нас статистик. Если X(O, / = 0, ±1, ., — гауссовский ряд, то требования 2.6.3 сводятся к суммируемости его ковариационной функции. В упр. 2.13.36 указана конкретная форма условия 2.6.3 и для других полезных примеров.
2.7. Фильтры
При анализе временных рядов мы часто имеем возможность применять к ним некоторые преобразования. Важный класс преобразований составляют линейные операции, инвариантные во времени. Рассмотрим операцию, определенную на г-компонентных векторьых рядах X(O, ? = 0, ±1, • •, и сопоставляющую ряду X (/) векторный ряд Y (/), ^ = 0, ±1, ...,Cs компонентами. Ряды X(Z) составляют область определения, а ряды Y (t) — область значений операции. Результат операции будем записывать следующим образом:
Y (0 = Я [X](O- (2.7.1)
Операция называется линейной, если для любых рядов X1(O, X2(O, / = 0, ±1, ...,к которым применима эта операция, и для любых постоянных OC1, ос2 выполняется
' Я KX1 + Oc2X2] (*) ^a1SI [X1] (0+?? [X2] (t). (2.7.2)
Далее, пусть TaX(t), / = 0, ±1, для данного и обозначает ряд X(t + u), / = 0, ±1, ... .Операция называется инвариантной во времени, если
SI [ТаХ] (t) = ЗЇ [X] (t + и) для /, и = 0, ±1, ... . (2.7.3)
Теперь можно дать следующее определение: операция St, переводящая r-компонентные ряды в s-компонентные и обладающая свойствами (2.7.2) и (2.7.3), называется sxr-линейным фильтром.
Область определения sx г-линейного фильтра можно расширить, включив в нее гхr-матричные функции U(O, / = 0, ±1, ... .
Обозначим столбцы U(^) через Uf(t), /=1,...., г, и положим St [U] (t) = [21 [U1] (t).. .Я [UJ (/)]. (2.7.4)
Область значений этой .расширенной операции состоит из sxr-матричных функций.
Важным свойством фильтров является способность преобразовывать гармоники в гармоники, а именно справедлива
Лемма 2.7.1. Пусть Я — линейная операция, инвариантная во времени, область определения которой включает г хг-матричные ряды
е(*) = ехр{Ш}1, (2.7.5)
t = 0, ±1, ...; — оо < X < оо, а I —единичная матрица порядка г. Тогда существует sxr-матрица А (Я), такая, что
81 [е] (/) = ехр {Ш} A (X). (2.7.6)
Другими словами, линейная операция, инвариантная во времени, переводит комплексную экспоненту частоты X снова в комплексную экспоненту той же частоты. Функция A (X) называется передаточной функцией операции. Заметим, что А(К + 2п) = A(X).
Важный класс sxr-линейных фильтров имеет вид
СО OO
Y(O= S а(/-и)Х(и)= 2 а(и)Х(*-и), (2.7.7)
И= - СО U= - со
it = 0, ±1, где X(O есть r-компонентный векторный ряд, Y(O есть s-компонентный векторный ряд, в.(и), U = O, ±1, .„., является последовательностью sx r-матриц, удовлетворяющих условию
І! I а (и) I < оо. (2-7-8)
М=~со
Мы называем такой фильтр суммируемым и обозначаем его {а (и)}. Передаточная функция фильтра (2.7.7) задается формулой
A(X)= 2 а (и) ехр {—іЩ для — оо < Jt < оо. (2.7.9)
U= - СО -
Принимая во внимание (2.7.8), видим, что A (X) является равномерно непрерывной функцией Я. Функция а (и), и=0,±1, называется импульсным откликом фильтра, так как если область определения фильтра расширить до г X r-матричных функций и на вход фильтра подать импульс
і I для / = 0,
X (O ~-1 л , , п (2.7.10)
w для /^= О, v 7
то на выходе получится ряд а(0, * = 0, ±1, ... •
Назовем sxr-фильтр {а, (и)} реализуемым или физически осуществимым, если а (и) = О для и = —1, —2, —3, ... ,Из (2.7.7) следует, что такой фильтр имеет вид
OD
Y(O= 2 а(и)Х (t—u), (2.7.11)
так что для определения Y (t) требуются значения X (0 лишь в настоящий и прошлые моменты времени. В этом случае область определения A (X) может быть расширена до множества — оо < <ReA,< оо, ImA,>0.
Иногда нам понадобится применять целую серию фильтров к одному и тому же ряду. В этой связи приведем такую лемму.
Лемма 2.7.2. Если Ja1 (0} и {а2(0} являются sXr-суммируе-мыми фильтрами соответственно с передаточными функциями A1(X), A2(X), то {а!(0 + а2(0} представляет собой sxr-сумми-руемый фильтр с передаточной функцией A1 (X) +A2 (X).
Если Ib1(O} есть rxq-суммируемый фильтр с передаточной -функцией B1(X) и {Ь2(0} есть sx г-суммируемый фильтр с передаточной функцией B2(Tt), то фильтр ^b2Kb1(O}, получающийся в результате применения сперва фильтра Jb1 (/)}, а затем {b2 (0}, является sxq-суммируемым фильтром с передаточной функцией B1(X)B1(A,).
