Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Другими словами, если функция (при функциональном подходе] удовлетворяет определенным условиям регулярности, то имеется строго стационарный процесс, анализ которого будет эквивалентен исследованию указанной функции.
Обратно", если X(Z) эргодичен (метрически транзитивен), то с вероятностью 1 любая выборочная функция обладает требуемыми предельными свойствами и может быть взята за основу при функциональном подходе1). . Таким образом, имеет место
Теорема 2.11.1. Если векторная функция с г компонентами удовлетворяет приведенным выше условиям (і) и (іі), то с ней может быть связан стационарный случайный процесс, обладающий теми же предельными свойствами. Обратно, если стационарный процесс эргодичен, то с вероятностью 1 любая его выборочная функция может быть взята за основу при функциональном подходе.
Эти два подхода прямо сопоставимы с двумя подходами к статистике, где за основные объекты рассмотрения выбираются либо коллектив [Von Mises (1964)], либо измеримые функции [Doob (1953)], см. также Von Mises, Doob (1941).
Условие, что процесс X (Z) эргодичен, не окажется чрезмерно ограничительным для целей нашего исследования, поскольку процесс будет эргодическим, если он удовлетворяет условию 2.6.1 и определяется своими моментами; см. Леонов (1960). Заметим также, что общий стационарный процесс является смесью эрго-дических процессов (Розанов (1963)); ассоциированный с семейством конечномерных распределений стационарный процесс (процедура получения которого описана выше) будет соответствовать некоторой компоненте смеси. Пределы в (і) будут существовать с вероятностью 1; однако они, вообще говоря, являются случайными величинами.
Wold*(1948) рассматривал соотношение между функциональным и стохастическим подходами в случае конечных моментов второго порядка.
х) Процесс X (t) эргодичен, если для любой действительной функции/[X], такой, что E J / [X (t)] \ < оо, с вероятностью 1 имеем
7-і
lim Г"1 2 /[X U)I = E/[X(O].
[Cramer, Leadbetter (1967), Wiener и др. (1967), Halmos (1956), Billingsley (1965) и Hopf (1937).] У
Заметим также, что соотношения (2.11.1) и (2.11.2) вытекают при определенных условиях из существования пределов в (і); см. Wintrier (1932).
Мы вернемся к рассмотрению функционального подхода к анализу временных рядов в § 3.9.
2.12. Тренды
С одной из разновидностей отклонения от стационарности можно познакомиться на примере ряда X(Z), Z = O, ±1,..., являющегося суммой стационарного ряда e(Z), Z = O, ±1, и детерминированной функции га(Z), Z = O, ±1, отличной от постоянной:
X(Z) = га(Z) + 8(Z), Z = 0, ± 1, ... . (2.12.1)
Если, кроме того, га (Z) не удовлетворяет условиям типа рассмотренных в § 2.11, то X(t) нельзя подвергнуть непосредственному гармоническому анализу. Наш метод исследования таких рядов будет состоять в попытке разделить и изучать порознь эффекты ,влияния га (Z) и e(t) на поведение X(t).
Если функция га(Z), Z = O, ±1, ... , изменяется медленно, то будем говорить о наличии тренда. Похоже, что многие ряды, возникающие в практических задачах, обладают такой состав-~ ляющей. Приведенным на рис. 1.1.4 рядам, изображающим экспорт Великобритании, по-видимому, это свойственно. В § 5.11 будут рассмотрены оценки тренда достаточно простого вида.
2.13. Упражнения
2.13.1. Пусть X(O=COs(Ai + B), где 6—случайная величина, равномерно распределенная в промежутке (—я, я]. Определите конечномерные распределения процесса, функцию среднего значения с^(0 и автоковариационную функцию сххЬъ U)' *
2.13.2. Докажите, что если для случайного вектора (K1, Yr) существуют кумулянты CUm(Fy1,..., YJs) при /г; /$=1, г, то для
Zk = ^ak.Yj, k=\, s справедлива формула cum (Z^ Zks)
і
= 23 ••• З*** ...flft5/jcum (Y/l9 Yh)9 Al, .... M=I. •••> s-/і is
2.13.3. Обозначим cum (Y1Im1 раз], .»., Yr [mr раз]), cum (Z1 [n± раз], ... Zs[ns раз]) соответственно через КПі.....m„(Y) 'и Kn1, ..'.,л,(Z)' а век"
торы с такими компонентами обозначим как (Y) и /C^ (Z), m = mi+... ... + mr, n = n1+...+ я5. Запишем преобразование упр. 2.13.2 в BHAeZ = AY, где А есть (яХ/О-матрица. Докажите, что (Z) = A^ (Y), где А[п] есть п-я симметрическая степень Кронекера матрицы А [Ниа (1963, стр. 10, 100).]
2.13. Упражнения
53
2.13.4. Определите передаточную функцию фильтра, задаваемого формулой (2.9.6).
2.13.5. Покажите, что для (стационарного в широком смысле) ряда X (t) = R cos (о)/ +Ф), где R—постоянная, со — случайная величина с непрерывной плотностью /(о) и Ф—независимая от (о величина, равномерно распределенная на (—я/я], спектр мощности задается формулой
Я2 2 [/(* + 2я/) + /(-Х + 2я/)]/4.
/=-00
2.13.6. Докажите, что для передаточной функции (лХ/*)-фильтра, определяемого формулой
N
Y(f) = (2JV+l)-i '2 х
u=-N
недиагональные элементы равны 0 и диагональные равны [sin (2W+1) Я/2]/ /l(2AT+l)sinX/2].
2.13.7.- ПуСТЬ М0 = 2иД1і(' —*\(0=2«fl22 (/—w) X2(u),
где {X1(Z), X2(O} удовлетворяет условию 2.6.1 /Допустим также, что передаточные функции A11(K), A22(K) отличны от нуля. Обозначим спектры второго порядка {X1 (О, X2 (0} и {^i (O» Y2 (t)} соответственно через fjk (К) и gfkfl), j\ ?=1,.2. Докажите, что
