Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
k
S Rj sin (U + фу). (2.7.30)
/=і J J
Ряд, который получается из X (t) с помощью преобразования. Гильберта, будет обозначаться Xм(t), t-=0, ±1, ... .
Лемма 2.7.4 показывает, как процедура комплексной демодуляции [Tukey (1961)] может быть использована для получения из низкочастотного фильтра новых фильтров с полосой пропускания, центрированное на произвольной частоте X0, а также для получения аналогов преобразования Гильберта.
В процессе комплексной демодуляции сначала мы образуем пару действительных рядов
F1(O = COsMX(O. ,97ЧП
Y2(t) = smX0tX(t) v.1.01)
для t = 0, ±1, а затем пару
W1 (t) = %a(t-u) Y1 (и),
и (2 7 32)
W2[I) = ^a[I-U)Y2[U),
U
где \a(t)\ — низкочастотный фильтр. Ряды H^1(Z), W2(t) называются составляющими комплексной демодуляции ряда X (t). Они, как правило, будут существенно глаже, чем сам ряд X(t)> поскольку {a (t)\, — оо < t < оо, — низкочастотный фильтр. Если затем составить ряды
V1 (t) = cos V W1 (t) + sin K0t W2 (t), ,9 7 ^
V2 (O = sin У IF1 (O + cos У W2 (t) 1 '
для — оо < t < оо, то, как показывает следующая лемма, ряд V1 (t) по существу совпадает с выходом фильтра, пропускающего некоторую полосу частот, на вход которого подается X(t)> a V2(O» по сути дела, получен из преобразования Гильберта Xм (t).
Лемма 2.7.4. Пусть {a (t)\—фильтр с передаточной функцией A(K), — оо < Я< оо. Операция, переводящая ряд X (t), — оо < t< < оо, в ряд V1(Z), задаваемый формулой (2.7.33), линейна, инвариантна во времени и имеет передаточную функцию
A (K-K0)^A (К+К0) ^ * (2.7.34)
Операция, переводящая ряд X(t) в ряд V2 (t), определяемый формулой (2.7.33), также линейна и инвариантна во времени. Ее передаточная функция равна"
А(К-К0)-А(К + К0) e (2 7 35)
В частности, если
f 1 при IXKA1
A(K)= п * 1 (2.7.36)
( О . в противном случае, 4 7
где —я<Х<л;, а А —малая величина, то функции (2.7.34) и (2.7.35) имеют вид
і 1/2 при I А, ± К А,
\ О в противном случае, v ;
— я < X, Ji0 < я, и соответственно
-V2* при |Х-Х0КД, V2* при |Х + Х0КА, (2.7.38)
О в противном случае.
2.8. Инвариантные свойства кумулянтного спектра 41
Интерпретация и применение таких фильтров рассматриваются в работах: Бунимович (1949), Oswald (1949), Dugundji (1958), Deutsch (1962).
2.8. Инвариантные свойства кумулянтного спектра
Основными величинами, используемыми при частотном анализе стационарных временных рядов, являются кумулянтные спектры. Мы часто будем подвергать ряды прохождению через фильтры и рассматривать результаты этих операций. Поэтому важно понять, какое влияние оказывает фильтрация на кумулянтный спектр. Этот эффект имеет простую алгебраическую природу.
Теорема 2.8.1. Пусть X (t) —г-компонентный* векторный ряд, удовлетворяющий условию 2.6.1 и Y(/) = 2а (Z—и) X (и), где
и
{&(t)\—суммируемый sx г-фильтр. Тогда Y (t) также удовлетворяет условию 2.6.1 и его кумулянтный спектр
gh, .,.,ьь{К> •••» Ю* » •••> bk=\, s; ? = 2,.3,
задается формулой Sb1.....bk(h> • •'• > ^k)
= S 2 Kf1(K) ••••AbbbMfh.....Ю- (2.8.1)
Некоторые частные случаи этой теоремы особенно важны.
Пример 2.8.1. Пусть X(t) и Y (t) действительны и имеют спектры мощности соответственно fXX (X) и / JfJf(A.). Тогда
Їуу(Ь) = \А(Ь)\Чхх(Ь)> (2.8.2)
где A (А,) — передаточная функция фильтра.
Пример 2.8.2. Пусть tXx (X) и обозначают соответственно
г х г- и sxs-матрицы спектра второго порядка для X(Z) и Y (t). Тогда
f,r W = A(X) 1„(X)A^. (2.8.3)
Если s=l, то спектр мощности Y (t) равен .
І 2 А} (Я) Л7(Х) (%). (2.8.4)
/=1/г=1
Поскольку спектр мощности неотрицателен, мы можем заключить на основании (2.8.4), что
S 2>W/*(b)>0 (2.8.5)
/=1#%=1
для всех комплексных A1J ..., Аг. Таким образом, рассматривая г= I9 получаем, что матрица fM (X) — неотрицательно определенная (результат теоремы 2.5.1).
Пример 2.8.3. Пусть X(Z), Y(Z), Z = O, ±1, ...,—два /--компонентных векторных ряда и Y выражается через X следующим образом:
Yj (0=23^ V-U)Xj(U), /=1, ...,г. (2.8.6)
и
Тогда кумулянтный спектр Y (Z) дается формулой
Ba1 (К) ."Bak (К) .... ah (К • • • , К), (2.8.7)
где Bj(K) обозначают передаточные функции фильтров \bj(u)}.
Позднее мы увидим, что примеры 2.8.1 и 2.8.3 помогают интерпретировать спектр мощности, кросс-спектр и кумулянтные спектры высших порядков.
2.9. Примеры стационарных временных рядов
Определение стационарного ряда и несколько элементарных примеров были даны в § 2.4. Поскольку стационарные ряды являются главным объектом нашего исследования, желательно иметь как можно больше их примеров.
Пример 2.9.1 (белый шум). Пусть e(Z), Z = O, ±1,...,— последовательность независимых одинаково распределенных г-ком-понентных векторных величин. Такая последовательность, очевидно, образует стационарный временной ряд.
Пример 2.9.2 (линейный процесс). Пусть e(Z), Z = O, ± 1,...,— белый шум, рассмотренный в предыдущем примере. Положим
