Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 2.5.1. Пусть X(t), t = 0, ±1, ... 9 — г-мерный временной ряд с автоковариационной функцией схх (и) = cov {X(t + u)9 X(O}» t9 U = O9 ±1, удовлетворяющий условию
І |с„(«)|<оо. (2.5.6)
Тогда матрица спектральной плотности
ixx(l) = (2n)-i J схх(и)ехр{-аи\ (2.5.7)
эрмитова и неотрицательно определенная.
Для г = 1 отсюда вытекает, что спектр мощности будет действительным и неотрицательным.
В свете этой теоремы и с учетом свойств симметричности и периодичности, указанных выше, спектр мощности может рассматриваться как неотрицательная функция на промежутке [0, д]. Свойства спектра мощности мы детально исследуем в гл. 5.
В случае когда векторный временной ряд X (/), t = 0, ± 1, ..., имеет конечные вторые моменты, но необязательно удовлетворяет некоторым свойствам перемешивания типа (2.5.1), мы все же можем получить спектральное представление, аналогичное (2.5.5). А именно, справедлива
Теорема 2.5.2. Пусть X(t), t = 0, ±1, ..., — г-мерный временной ряд, стационарный в широком смысле и имеющий конечную ковариационную функцию схх (и) = cov {X (t + u), X (/)} для t, и = 0, ±1, ... . Тогда существует г у. г-матричная функция ^xX — л; < X ^ я, элементами которой являются функции ограниченной вариации и приращения которой неотрицательно определены, такая, что
я
схх(и) = S ехр{іиЦ(іРхх(Х) для и = 0, ±1, ... . (2.5.8)
-я
Эта функция задается формулой
T
FXX(X) = Um (2Я)-1 2 схх(и)[ехр{-іЩ-l]/(-iu)
T -> go и=-Т
для — д<Х<я. (2.5.9)
Функция FXX(X) называется спектральной мерой ряда Х(/), / = 0, 4=1, .... В случае когда выполнено (2.5.1),. она записывается в виде
к
?хх M = $ ixx (a) da, — я< X < д. (2.5.10)
о
Представление (2.5.8) получили Herglotz (1911) для одномерных действительных функций и Cramer (1942) в векторном случае.
2.6. Кумулянтные спектры порядка k
Допустим, что ряд Х(/), / = 0, ±1, стационарен и зависимость его членов достаточно мала, а именно
со
2 кві.....ал(Иі, K^1)I < OO. (2.6.1)
В этом случае кумулянтный спектр k-го порядка, обозначаемый
/at, ...,^(X1, hk-i) = fxalt...t Хан(К* • » 4-і)» ОПрЄДЄЛЯЄТСЯ
выражением
Za1, .... ^ (X1, . X^1)
со ( k-l \
= (2n)~k + 1 2 Co1, а. {«і, - - - , И*-і) exp -І'2 W Х - >,
W1, .... ^.!=-00 * I / = 1 J
(2.6.2)
где —оо < Xy < оо, а19 ..., ак = 19 ..., г, & = 2, 3, ... . Распространим определение (2.6.2) на случай k=\9 полагая fa — са— = EXa(t), a = I, ..., г. Иногда, чтобы сохранить симметрию, мы будем добавлять символический аргумент \ у функции, определяемой формулой (2.6.2), записывая ее как Ia1 . , аъ (X1, ...9Кк).
k *
При этом %k связан с другими Ху. соотношением ^1Kj = O (тос12я).
Заметим, что fQi.....ак(К> •••> 4) является, вообще говоря,
комплексной функцией. Она ограничена и равномерно непрерывна
k
на многообразии 2 ^/ — О (mod2rc). Имеет место следующая формула обращения:
Ca1.....а^{ЦІ9 . . ., U^1)
я я: (k-l }
= 5 •••Ij ехрЬ* 2 b/tijtf*.....ah(bif • ••> Vi)d4> • > ^Vi.
-л; -я I1 ^
(2.6.3)
или в симметричном виде
? ? і 4i 1
.....ал<И*. ...,^)= J ... J eXpii2V/)^.....^(X1, ...,X^)
Xn(X1+...+X^dX1 ... dkk. (2.6.4)
Здесь
TlW= 2 8(Х + 2я/) (2.6.5)
/= -«
— „гребень" Дирака (2.1.6).
Мы часто будем предполагать, что для рассматриваемого ряда выполнено
Условие 2.6.1. X (t) г~ строго стационарный векторный временной ряд с г компонентами X7- (/),/= 1, ..., г, все моменты которых существуют, и, кроме того, при ах, ak=\, г и k = 2, 3, ... выполняется (2.6.1).
Отметим, что для рядов, .удовлетворяющих условию 2.6.1, существуют кумулянтные спектры всех порядков. Для гауCCOB-ских процессов это условие сводится к требованию 21 СаЬ (и) I < 00» a, b = 1, ..., г.
Кумулянтные (семиинвариантные) спектры определяются и рассматриваются в работах: Ширяев (1960), Леонов (1964), Brillinger (1965), Brillinger, Rosenblatt (1967а, Ь). Идея фурье анализа старших моментов временных рядов содержится в книге Blanc-Lapierre, Fortet (1953).
Спектр третьего порядка для одного ряда получил название . биспектра [Tukey (1959), Hasselman, Munk, MacDonald (1963)]. Спектр четвертого порядка был назван триспектром.
В некоторых случаях окажется - полезным
Условие 2.6.2(/). Для векторного стационарного процесса X(t) с компонентами X7- (t), j = 1, ..., г, существует I ^ 0, такое, что
І . {l+lo/l1}!^.....^(?.....0^)^00 (2.6.6)
при / = 1 1 и любом наборе а1У ..., ак, где k = 2, 3, ... .
Из этого условия вытекает, что для / > О зависимость достаточно удаленных по времени значений процесса еще слабее, чем при выполнении условия 2.6.1. Степень зависимости определяется величиной /. Соотношение (2.6.6) обеспечивает существование всех производных порядка, не превосходящего функций fat.....ак{К* •••» 4)> и эти производные ограничены и равностепенно непрерывны.
Если вместо (2.6.1) или (2.6.6) потребовать лишь, чтобы
Е;|*Л0|* < 00> я=1, Г, ТО fat.....ak(K •••> 4Ь фИГури-