Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
1.7. Упражнения
1.7.1. Докажите, что если /(•)—- комплекси а я функция и /(z1 + «і, .. . .... tk+Uk) = Cu1...ukf У» 'ft) ПРИ и/ = °> ± 1, ±2, /=1, k, то f(tlt /л) = /(0, 0) ехр {2 a/fy} для некоторых аь а*; см. Aczel
1.7.2. Докажите, что если / (t) — непрерывная комплексная функция и / (t-\- и) = CJ (t) при —оо < t, и < оо, то / (t) = f (0) exp {at} для некоторого а.
1.7.3. Докажите, что если f (t) — векторная функция с г комплексными компонентами, такая, что \(t-\-u) = Cu\(t)> где t, U = O1 ± 1, ±2, а Сй есть г Xr-матричная функция, то f (^) = Cif (0), если Det {f (0), f (/- — 1)} ф О, причем Ся = ехр{Аа}, A = InCi- См. Doeblin (1938) и Kirchener (1967).
1.7.4. Пусть W (а), — оо < а < оо, —абсолютно интегрируемая функция, удовлетворяющая условию
^ W(a)d(a)--
:1.
Пусть / (а), — оо <а< оо, — ограниченная функция, непрерывная при Gt = A,. Покажите, что є-1 J W [е-1 (А,— а)] с?а= 1 и
со
lime-1 [ f(a)W fs-1 (к—a)] da = f (к).
— 00
1.7.5. Докажите, что для X Ф 0, ± 2jt, ...
T cosA-cosfr+i-U Г sin(r + |U (а) ? sin= —-\ У ,(b) у+V cos A=-і-,
/=і 2^11T /=» 2sin"2
л
г 8іп(г + 1)х Г sin(V+i+
(с) ?ехр{-Л/) =-*-ТГ~> <d) \---JT^—Л = 2я.
/=-г siny J sinT
- я
1.7.6. Пусть X1, Xг — независимые случайные величины с EXj=Hj- и DXy = oy. Рассмотрим линейные комбинации У = 2я/Ху, 2 #/ = 1. Тогда
ЕУ = 2 flyMy» Докажите, что DF минимизируется при выборе a I=Qj2I^IoJ2 . /-!,.!.. г.
1.7.7. Докажите, что сумма 2 ехр {/(2jt/s)/T} равна Г, если s = 0, ±7% ±27\ ...,и равна 0 при других целых значениях s.
1.7.8. Докажите, что если X—действительная случайная величина с конечным вторым моментом и 8—действительное число, то E(X—6)2 = DX+ + (EX-б)2.
1.7.9. Пусть / обозначает пространство бесконечных в обе стороны последовательностей x = {xt, t = 0, ±1,4:2, ...}. Пусть 31 обозначает линейную операцию на / (? (ад:+ $у) = аШ (*) + рЗІ (у) для чисел а, P и для X1 у?1], которая инвариантна во времени [Щ =Y, если 31л: = Х, yt = xt+ui Yt = Xt+a для некоторого U = O1 ±1, ±2, ...]. Докажите, что существует функция А(X), такая, что (31*)*= A (X) х\, если Xf = exp {iXt}.
1.7.10. Рассмотрим последовательность с0, съ с2, ее частные суммы т
Sf= V Cf и средние в смысле Чезаро
t= о
Докажите, что если S7-—> S, то Q7-—> S при T—> ос; см. Кпорр (1948).
1.7.11. Пусть J — векторная случайная величина, где К—действительная величина, такая, что EF2 <ос. Докажите, что величина #(Х), у которой Е0(Х)2<оо, минимизирующая E[Y—0(X)]2, задается формулой 0(X)= = Е{У I X}.
1.7.12. Покажите, что для /г=1, 2, ... п-1
и=-п +1
и выведите отсюда, что
E (і--Ш)иР{-*В}=4
rik
2 J
. гік
slnT
. х
.sinTJ
= 2я/г.
1.7.13. Покажите, что справедливо тождество
П П-1
2 Ukvk = 2 Vk{Vk — Vk + 1) —Uт^т+UnVn, k—m k~m
где О^т^п, Uf1 = «0+ ...-f-«/j (?:^=0), _х = 0 (преобразование Абеля).
1.7.14. (а) Пусть функция /(х), 0< л:< 1, интегрируема и имеет интегрируемую производную /<1) (л:). Покажите, что
п і і
/=°о о
где [у] обозначает целую часть числа у.
(Ь) Пусть f{k) (х), 0 < л: < 1, обозначает k-ю производную функции / (х). Предположим, что f{k)(x), 0<~1, интегрируема для & = 0, 1, ...,/С. Покажите, что
у =о
І L / (~) = J / W 1 / (°) + H (-1)*? (0) *"* (/(Л"Х) (U-; п о k = 1
і
—(0)) + (-I)*+1 J Я/х (л*-[лх])/<К>(*)йс,
где Bf1 (у) обозначает &-й полином Бернулли (Эйлер—Маклорен).
ОСНОВНЫЕ понятия
2.1. Введение
В этой главе приводятся некоторые сведения об основах статистического и детерминистического подходов к анализу временных рядов. Мы увидим, что предположения, которые делаются в каждом из подходов, приводят к определению близких по своему смыслу параметров; одинаковыми обычно оказываются и практические выводы. Фактически будет показано, что эти два подхода в определенном смысле эквивалентны. Важным в настоящей главе является параграф, посвященный изучению тех свойств интересующих нас параметров, которые инвариантны относительно фильтров—специального класса преобразований временных рядов. Доказательства теорем и лемм вынесены в конец книги.
На. протяжении всего текста матрицы обозначаются буквами А, В, набранными жирным шрифтом. Если матрица А имеет элементы Ajky то иногда пользуемся и другим ее обозначением: [Ajk]. Для rxs-матрицы А ее транспонированную sxr-матрицу записываем как Ат; А—матрица, элементы которой комплексно-сопряжены с элементами A. Det А обозначает детерминант матрицы A, trA—след матрицы А и |А|—сумму модулей элементов А. Единичную матрицу обозначаем через.I. Всякий г-компо-нентный вектор является гX 1-матрицей, т. е. столбцом.
Символы EX и DX обозначают соответственно математическое ожидание и дисперсию случайной величины X. Для пары случайных величин (X, Y) будем записывать их ковариацию как cov {X, У}, а коэффициент корреляции как cov{X, У}.
Если z — комплексное число, то Re г и Im г означают соответственно его действительную и мнимую части. Таким образом, z можно представить в виде
