Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Вторая часть этой леммы показывает, что наряду с коэффициентами фильтра, зависящими от времени, бывает удобнее рассматривать его передаточную функцию. Выражение для свертки
Ь2 * Ь, (0 =.2 Ь2 (t - и) Ъ, (и) (2.7.12)
и
заменяется произведением функций B2(X)B1(X), зависящих от частоты А,.
Пусть {а(0} —fXr-суммируемый фильтр. Если существует rxr-фильтр {Ь(0}, такой, что
I для t = 0,
b*a(0H a ,_z.a (2.7.13)
w { 0 для t^Q, 4 7
то {а(0} называется невырожденным или несингулярным. Фильтр {Ь.(0} называется обратным к фильтру {а (0}. Обратный фильтр существует, если, матрица A (X) невырожденна при — оо < К < оо; передаточная функция обратного фильтра равна A(A,)*1.
Иногда мы будем иметь дело с l-суммируемым фильтром. Так называется суммируемый фильтр, удовлетворяющий условию
oo
S [1 + М']|а(й)|< оо для некоторого / > 0. (2.7.14)
Приведем два примера /-суммируемых фильтров. Операция, задаваемая формулой
m
7(/) = (2^+1)-1 2 X(t + u), (2.7.15)
и=-М
является /-суммируемым фильтром для всех / > 0 и имеет коэффициенты
1(2^+1)-1 при U = O9 ±1, ±М,
а(и)={ Л (2.7.16)
I 0 в противном случае, v '
а передаточная функция фильтра имеет вид sin (2М + 1)І
A(X) = {2M+l)^-:-—— для — оо<Я<оо. (2.7.17)
sinT
График этой передаточной функции будет дан в § 3.2. Для M не слишком малых A(X) является функцией, грубо говоря, сосредоточенной вблизи частот Ji = O (mod2jt). Общий эффект воздействия такого фильтра состоит в сглаживании функций, к которым он применяется.
Точно так же операция, которая X (t) переводит в
Y(t) = X(t)-X(t-l), (2.7.18)
для всех /-является /-суммируемым фильтром с коэффициентами
!1 для и = 0, —1 для и = I9 (2.7.19)
0 в противном случае
и передаточной функцией
А (К) = 2І ехр J. sin у. (2.7.20)
Эта передаточная функция, грубо говоря, сосредоточена в окрестностях частот Я=±зт, ± Зя, .... В результате применения этого фильтра пропадает медленно меняющаяся часть функции X (/) и выделяется ее быстро меняющаяся составляющая.
Мы часто будем применять фильтры к случайным процессам. В этой связи отметим следующую лемму.
Лемма 2.7.3. Если X (t) — стационарный г-компонентный векторный ряд с E I X (/) I < оо и {а(/)} — суммируемый sx г-фильтр, то
Y(O= 23 *{t-u)X(u) (2.7.21)
для t = 09 ±1, ... существует с вероятностью 1 и является стационарным рядом с s компонентами. При этом если E|X(OI*<°o, k>09 то E|Y(/)|*<oo.
Эта лемма находит важное применение, позволяя получать новые стационарные ряды из уже имеющихся. Например, если е(0 — последовательность независимых, одинаково распределенных r-компонентных векторов и |а(/)} — sxr-фильтр, то s-компонент-ный векторный ряд
00
X(O= 2 a(.¦ — «)8(и) (2.7.22)
строго стационарен. Он называется линейным процессом.
Иногда нам придется сталкиваться с линейной операцией, инвариантной во времени, для которой передаточная функция A (Ji) не обязательно являетсй преобразованием Фурье абсолютно суммируемой последовательности. В случае когда
я
J X(K) KWdI < оо, • (2.7.23)
-Я
функцию на выходе такого фильтра возможно определить как предел в среднем квадратичном. Точнее, справедлива
Теорема 2.7.1. Пусть X(t)9 t = 09 ±1, —г-компонентный векторный временной ряд с абсолютно суммируемой автоковариационной функцией. Пусть A(k)—sxг-матричная функция, удовлетворяющая (2.7.23). Положим
я
а (и) = (2л;)-'1 J A (X) ехр {іиЦ dk, (2.7.24)
-я
U = O9 ±1, .... Тогда при t = 09 ±1, ... существует
T
Y(/) = l.i.m. 2 a (t-u) X (и). (2.7.25)
T -> оо и= - Т
-Результаты такого рода рассматривались в работе Rosenberg (1964) В предположении, что, кроме условий теоремы 2.5.2, выполнено еще
J A (X) dFxx (X)~AjX)% < оо.
Особенно важны для нас в дальнейшем будут два Іхі-фильтра, удовлетворяющих (2.7.23). Назовем Ix 1-фильтр {а (и)} фильтром с полосой пропускания ширины 2А, центрированной на частоте X01),
г) Будем использовать также термин полосно-пропускающий фильтр.— Прим. перев.
если его передаточная функция в области — я < А, < я имеет вид
Il ДЛЯ \%±К\<к>
А(*) = { п 1 °1 (2.7.26)
4 7 в противном случае.
Обычно Л является малой величиной. Если А,о = 0, фильтр называется низкочастотным. При передаточной функции (2.7.26) в результате фильтрации ряда
k
Jf(O= S Vos (? + */)• (2.7.27)
/=і
где Rj, Фу, k—постоянные, получается ряд
2Vos(Ay*+Фу); (2-7'28)
здесь суммирование ведется по всем /, удовлетворяющим неравенству I Ay + А,01 ^ Д. Другими словами, те составляющие X(t), частоты которых близки к A4,, остаются без изменений, в то время как другие составляющие устраняются при фильтрации.
Второй полезный 1 х 1 -фильтр называется преобразованием Гильберта. Его передаточная функция чисто мнимая, она имеет вид — tsgnA,, т. е.
— і при 0 < А, < я,
0 при Я, = O1 (2.7.29)
1 при — я < А, < 0.
Если на вход фильтра с такой передаточной функцией подается ряд X(t), определяемый формулой (2.7.27), то на выходе получается ряд
