Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
В случае г=1 для спектра мощности ряда X(Z) JRcos(coZ + <?) получается выражение
ІXX W = 4 #2 h (X- со) + T1 (X + со)]. (2.10.8)
Последняя функция имеет пики на частотах X= ± со (mod 2л). В этом одна из причин называть переменную X частотой. Очевидно, со/(2л) — число полных циклов изменения косинусоиды cos (coZ+Ф), проходимых ею при изменении аргумента Z на единицу. Поэтому Х/(2п) называется циклической частотой в единицу времени, обратная к ней величина 2п/Х носит название периода, а X —угловая частота, выраженная в радианах в единицу времени.
Пример 2.10.5 (функциональное разложение Вольтерра). Возвращаясь к примеру 2.9.8, сформулируем следующую теорему.
Теорема 2Л0.1. Пусть Y (Z), Z = O, ±1, .определяется формулой (2.9.15), где ^\aj(u19 ..., Uj) | < оо и
Aj (X1, . . . ,Xj) = 2 . • . 2 CLj (U1.....Uj) ехр {—/(Mi+ • • • + hUj)}
U1 Uj
для J=I9 .L. (2.10.9)
Тогда для кумулянтного спектра 1-го порядка ряда Y (Z), Z = O, +1, справедливо уравнение
S т] (X1+ ... +X1) /к_ у(X19 ..., X1)(IX1 ... ClX1
= S 2•••SS ••• S*i(Sai/-0-" АК-;/=1'...,А)...
м>і Ji \ і /
• • • л (<- /') € Pi)... л (5Х/> (*. /) € рм)
X fx... к («//> (h J) € Л) • • • fx ¦ . ¦ х (a,/'- ('» /) € ялі) ^t1I • • • ,
(2.10.10)»
где внешняя сумма берется по всем неразложимым разбиениям {P1, ...,Рм\, М=\, 2.....табл. 2.3.4,
2.11. Функциональный и стохастический подходы
'49
В уравнении (2Л0.10) для кумулянтного спектра использована симметричная запись. Теорема 2 в работе Ширяева (1960) дает сходный результат.
2.11. Функциональный и стохастический подходы к анализу временных рядов
При исследовании временных рядов широко применяются два различных подхода, а именно стохастический и функциональный. Первый из них, обычно используемый вероятностниками и статистиками [Doob (1953), Cramer, Leadbetter (1967)], изложен в § 2.2. Данный временной ряд при таком подходе рассматривается как результат случайного выбора из* некоторой совокупности возможных рядов. Пусть в нашем распоряжении имеется множество 0 векторных функций 9(Z) с г компонентами. После того как на 0 определена вероятностная мера, мы получаем случайную функцию X (Z, 0), значениями которой являются заданные функции 0(Z). С другой стороны, для данной X(Z) можно взять в качестве индекса 6 = X (•) и считать 0 состоящим из таких элементов 6. Затем можно положить X(Z, B) = X(Z, Х(-)). Но в любом случае придется иметь дело с теорией меры и вероятностными пространствами.
Во втором подходе r-компонентный временной ряд интерпретируется как неслучайная функция из основного множества функций вида {X(Z, v) = X (Z + v) \ V = O9 ±1, ±2, ...[, где X(Z) — заданная векторная функция с г компонентами. Этот подход, носящий название обобщенного гармонического анализа, изложен, например, в работе Wiener (1930).
С точки зрения теоретиков различие указанных подходов состоит в том, какие математические средства используются и какие предельные процессы вовлекаются в рассмотрение.
Допустим, что X(Z) имеет компоненты Xa(t)9 a= I9 г. При функциональном подходе мы предполагаем, что существуют пределы вида
T-I
. lim =та9 (2.11.1)
S, 7->оо о-\- 1 T-I
2 Xa{t)Xb{t + u) lim t=~s -= пгаЬ(и). (2.11.2)
5, 7->*> °~ГУ
Свойство стационарности в этом случае будет выглядеть как существование пределов
T-I
Hm *=~*-=таУ (2.11.3)
S» T -> od T-I
-2 Xa(t+v)Xb(t + v+u)
Hm - --mo6(«), (2.11.4)
5, T —> оо "I-
не зависящих от у при у = 0, ±1, ±2, .... Определим теперь кросс-ковариационную функцию формулой
Cab (и) = тдб (u)—mamb. (2.11.5)
Если
S 1^)1 < оо, (2.11.6)
U = - oo
то, как в § 2.5, можно определить спектр второго порядка fab(X). Предположим, что функции Xa(t), a=l9 ...,г, таковы, что (і) для действительных х19... 9 xk и Z1,..., tk функция
F[a~tS\Pak (X1, Xk\ Z1, tk), Т. Є. ДОЛЯ ТЄХ t В Промежутке
[—S, Г), для которых
*ві(' + *і)<*і. (* + **)<**, (2.11.7)
стремится к пределу Fai.....CIf1(X1, ... 9 хк\ Z1, ..., tk) (в точках
непрерывности этой функции) при Sy T —> OO и
(и) выполнено условие компактности, имеющее вид
(S+T)-1 2J1 I(О I- < М (2.11.8)
t= -S
для всех S, T и некоторого а > 0.
В этом случае Fat, ...iak(x1, ...,хк\ Z1, tk) представляет собой симметричное и согласованное семейство конечномерных распределений, и по теореме Колмогорова это семейство можно связать с распределениями некоторого случайного процесса [Doob (1953)]. Предел в (і) зависит лишь от t1 — tk, ..., tk-x — tk9 и потому случайный процесс X (Z) с такими конечномерными распределениями является строго стационарным. Если в (ii) будет и ^ k, то
EX^(Z1) ...Яак_г (tk-,)Xak (0)
= Hm (S +71)""1 t Хаі(і + Іг) ... Xah^(t + tk^)Xak(t)9
(2.11.9)
2.11. Функциональный и стохастический подходы_51
т. е. имеет смысл вводить в рассмотрение X(Z). Этот процесс будет удовлетворять условию 2.6.1, если функции кумулянтного типа, полученные для X(Z), удовлетворяют (2.6.1).
