Расчет высокоточных шарикоподшипников - Ковалев М.П.
Скачать (прямая ссылка):
соответственно с наружным и внутренним кольцами, через осевую нагрузку Fa и неизвестные пока углы контакта ав и ан.
Для случая ведущей дорожки качения наружного кольца (к* = = 0), проектируя все силы, действующие на шарик, на оси координат Ox' и Oy', получим
PBsinaB— P11SmCx1^F1-COSa11 = O; (5.20)
PBcosaB— PHcosaH — F7SiUa11 + F= 0. (5.21)
Если на подшипник действует чисто осевая нагрузка Fa, то должны выполняться следующие условия:
PBsinaE = ^; (5.22)
Рис. 5.1. Схема нагружения шарика высокоскоростного радиально-упорного подшипника
Рн sin aH — Fr cos aH =
(5.23)
Соотношение (5.22) выражает условие равенства- действия и противодействия между шариком и дорожкой качения внутреннего кольца, а соотношение (5.23) — между шариком и дорожкой качения наружного кольца.
Подстановка соотношений (5.22) и (5.23) превращает равенство (5.20) в тождество вида 0 = 0, а равенство (5.21) с помощью тех же соотношений принимает вид
ctgaH-ctgaB=^(F-1&). (524)
Преобразовав правую часть последнего равенства с помощью формул табл. 5.1 и формулы (5.19), имеем
Обозначим
ctg aH — ctg aB = -|- pD2w%2.
r а
ав = а* + х, aa = a* — y,
(5.25)
v„c<5-26>
где a* — угол контакта в подшипниках после приложения усилия преднатяга.
155
Приведем равенство (5.25) с помощью обозначений (5.26) к следующему виду:
где с = sin (a* + х) sin (а* — у). (5.28)
Подставим теперь значение FJZ из равенства (5.27) в равенства (5.22) и (5.23); в результате получим
Р* = Л* Ш^ТЦ) [I+^n (X+ у) ^?] . (5.30)
Таким образом, из уравнений равновесия для шарика получены важные соотношения (5.29) и (5.30), < устанавливающие зависимость между нормальными составляющими реакций Pn и P3, частотой вращения внутреннего кольца [она содержится в коэффициенте р, см. формулы (5.18)] и величинами х и у изменения углов контакта соответственно внутреннего и наружного колец. Последние определяют из уравнений деформаций.
Для случая ведущей дорожки качения внутреннего кольца (К* = = 1) уравнения равновесия в проекциях на оси координат Ox и Oy' имеют вид (см. рис. 5.1) .
P„s'maB— PHsinaH — FrcosaB = 0; (5.31)
PBcosaB — PHcosaH + F rsin aB + F = 0. (5.32)
Условия равенства горизонтальных составляющих реакций со стороны шарика и дорожек качения колец приводят к соотношениям:
PBsinaB — FTo.osaB = ~\ (5.33)
PHsinaH = ^. . (5.34)
После подстановки соотношений (5.33) и (5.34) в равенства (5.31) и (5.32) первое из них превращается в тождество вида 0 = 0, а второе принимает вид
- ctgaH-ctgaB = -?- (F + 1^). (5.35)
Для рассматриваемого случая (см. табл. 5.1) имеем
поэтому
156
ctgaH — ctg aB = -=pD2w'?(l + A-) (5-36)
или
^ = pDll4{ + ^)^~^- (5.37)
Введя полученные значения FJZ в равенства (5.33) и (5.34), получим формулы для нормальных составляющих реакций:
^«^(,•«[1 +(1_х>1п(, + й^]); (5.38)
Р. = А(ХЧЯ)-^. (5.39,
Необходимо отметить, что формулы (5.38) и (5.39), так же как и формулы (5.29) и (5.30), содержат в явной форме неизвестные пока углы контакта ав и аи. Эти углы входят также в функции % и X*, а с параметрами х и у они связаны соотношением (5.26). Поэтому для каждого шарика задача определения нормальных реакций Рв и Pn является 2 раза статически неопределимой.
В том случае, когда центр ротора свободен от внешних нагрузок или когда нагрузки, приложенные к центру ротора, направлены по его оси, нормальные силы одинаковы для всех шариков данного подшипника. В первом случае можно ограничиться изучением условий равновесия одного шарика, а во втором — одного шарика в каждом подшипнике. Ясно, что в каждом случае задача определения нормальных реакций является 2 раза статически неопределимой и для решения ее до конца необходимо привлечь уравнения деформаций. Этот вопрос будет подробно рассмотрен в следующем параграфе.
Таким образом, нормальные силы Рв и Р, в зонах контакта шарика соответственно с наружным и внутренним кольцами определяются по формулам (5.29) и (5.30) — в случае ведущей дорожки качения наружного кольца и по формулам (5.38) и (5.39) — в случае ведущей дорожки качения внутреннего кольца. Однако часто невозможно заранее выбрать форму представления для искомых нагрузок Рв и Pn. Объясняется это тем, что рассматриваемые случаи определяются не только частотой вращения подшипника, но и его конструктивными особенностями. Основным фактором, определяющим выбор формы представления для P3 и Рн, является все же частота вращения подшипника. Поэтому, выбрав на основании заданной частоты вращения какую либо пару формул, например формулы (5.29) и (5.30), необходимо решить задачу до конца, т. е. с помощью уравнений деформаций определить углы контакта ав и ан, а затем с помощью формул (5.29) и (5.30) — искомые силы Рв и Рн. Если при этом неравенство (4.43) соблюдается, то решение можно считать завершенным; если не соблюдается, то необходимо получить иное решение, положив в основу для представления искомых нагрузок формулы (5.38) и (5.39).
157
5.3. УРАВНЕНИЯ ДЕФОРМАЦИЙ
Для отыскания рабочих углов контакта или величин х и у необходимо составить уравнения деформаций. На рис. 5.2 показаны положения центра шарика и центра кривизны дорожки качения наружного кольца до приложения усилия преднатяга Fa и при работе подшипникового узла. Предположим, что помимо усилия преднатяга на ротор не действуют никакие внешние силы и что весом ротора можно пренебречь. При этом возможны три случая.
