Расчет высокоточных шарикоподшипников - Ковалев М.П.
Скачать (прямая ссылка):
На рис. 2.7 дана графическая зависимость безразмерного осевого смещения |я = Ь J (JJ) ^ от осевой нагрузки F0, отнесенной к ZC6r%2 с углом а в качестве параметра. Из приведенного графика видно, что при прочих равных условиях осевое смещение тем больше, чем меньше номинальнй угол контакта. При а = 90° AIZ = C6S3J2- '
В некоторых случаях, например при расчете опор гироскопических устройств, требуется определить осевое смещение Su с точностью до десятых долей микрометра; ясно, что в таких случаях графический способ неприменим.
Очевидно, что равенство (2.32) нельзя решить в явной форме относительно |а, т. е. относительно осевого смещения ба. Точно так же не представляется возможным найти в явной форме рабочий угол контакта а из равенства (2.33). Таким образом, задача состоит в разработке эффективного метода решения равенства (2.32) или равенства (2.33). В последнем случае безразмерное осевое смещение \а определяется из соотношения (2.30) по приближенному значению' ос, найденному из равенства (2.33).
Займемся поэтому приближенным решением равенства (2.33). Введем в равенство (2.33) замену
а = а0 + х, (2.34)
где X — неизвестная малая величина, подлежащая определению. Будем рассматривать равенство (2.33) как функцию малого параметра х. Разложение этой функции по параметру х невозможно, так как радиус сходимости ее равен нулю. Поэтому разделим обе части равенства (2.33) на постоянную С* и возведем их в степень 2/3. Вводя после этого в полученное рав*енство замену, получим
54
Обозначим левую часть последнего равенства через f (х) и разложим ее по степеням малого параметра х. Такое разложение всегда возможно, если а„ ф 0. Обрывая полученный ряд, вместо равенства (2.35) найдем
S aftxft~0, (2.36)
где ak=±-flk)(0).
Для первых пяти коэффициентов ак имеем
o1 = sin2/3 a0tga0; а2 = -^- sin2/3 a0(sec2 a0 + tg2 cc0 + ; (2.37)
я3 = 4~ sin2/3 ao (1,5 tg a0 + 2 ctg a0 + 9 sec2 a0 tg a0);
я*=4~ si"2/3 «о [(4—sec2 ao+¦ysec2 a°)ctgZ a°+
+ 4,375 sec4 a0 + 4,25 sec2 a0 tg2 a0 + 0,375 tg4 o0] .
Ограничившись в ряду (2.36) квадратичным членом, получим для определения искомой величины X следующую формулу:
_ 3 sin 2a,
: —
2_ Гі/і і 2 6+ COiEa0 / Fa \2/з ]
1 ao L У 3 sin2 a0 \ С* sin a0 J J"
2 6+ cos2 .
(2.38)
Второй корень квадратного уравнения не имеет смысла.
Для проверки точности полученного решения поступим следующим образом. Подставим в равенство (2.33) найденное приближенное значение a = a„ + X0 и вычислим осевую нагрузку
Fa = С* Г—,— l]3/2sin(a0 + x0). (2.39)
а L cos (a0 + X0) J \ о і и; \ /
Нагрузка F'a отличается от заданной нагрузки Fa и тем значительнее, чем больше величина х, вычисленная по формуле (2.38), отличается от истинного ее значения.
В табл. 2.1 приведены результаты расчета углов контакта a для подшипников с различными номинальными углами контакта а0 при разных осевых нагрузках Fa. В этой же таблице даны значения величины А (в %), характеризующие точность полученного решения.
'A=Fa~Fa 100.]
55
Таблица 2.1 Значения угла контакта а и величин Fa, А и ба
Условное обозначение подшипника CC0, град х, рад а Fa-кгс А, % MKM
Fa= 4 кгс
6100Е 36900E 6100Е1 12 18 30 0,230682- Ю"1 0,254562-10"1 • 0,529375-10'2 13° 19' 18,15" 19° 27' 30,72" 30° 18' 11,91" 4,017 4,012 4,00 0,425 0,300 0,000 10,60 5,16 3,05
F0= Є кгс
6100Е 36900Е 6100Е1 12 18 30 0,293067- Ю-1 0,325367- Ю-1 0,690819- Ю-2 13° 40' 44,93" 19° 51' 51,18" 30° 23' 44,92" 6,041 6,029 6,001 0,683 0,483 0,017 13,48 6,61 3,98
Fa = 20 кгс
6100Е 12 0,574837-10"1 15° 17' 36,86" 20,47 2,340 26,62
36900Е 18 0,652056-Ю-1 21° 44' 9,61" 20,36 1,785 13,40
6100Е1 30 0,150996-10"1 30° 51' 54,51" 20,01 0,070 8,74
Из табл. 2.1 видно, что с увеличением номинального угла контакта а о и с уменьшением осевой нагрузки F0 точность полученного решения увеличивается.
В тех случаях, когда формула (2.38) не позволяет получить требуемую точность, например при малых номинальных углах контакта CXn и значительных осевых нагрузках Fa, можно повысить точность решения, увеличивая степень полинома в равенстве (2.36).
Пусть требуется решить уравнение
п
S amxm = 0, п^З. (2.40)
Из равенства (2.35) вытекает, что искомая величина х может быть только положительной, поэтому при решении алгебраического уравнения (2.40) все отрицательные и комплексные корни необходимо отбросить.
Будем определять указанный положительный корень методом последовательных приближений. Для определения k-ro приближения поступим следующим образом. Считаем, что приближение хк мало отличается от хА_, (k = 1, 2, . . .) и заменим х™ с т ^ 3 в равенстве (2.40) на Xk-i. Тогда для определения хк имеем квадратное уравнение
п
«о + «А + а2х% + S = 0.
т=3
56
Решив это уравнение, Получим для положительного корня з
sin 2<х(
2~ 6 + COS2
2 6 cosa GC0 3~
. 2/3 " Qk-I " Sin ' OC0
(2.41)
где qk-i = —ао— S amXk-i {k= 1, 2, ..'.).
Нулевое приближение по-прежнему определяем по формуле (2.38).
Определим величину ДА, характеризующую отклонения найденных приближений хк от истинного значения х, превращающего равенство (2.39) в тождество.
