Теплотехника - Чечеткин А.В.
Скачать (прямая ссылка):
КН dT dT
что и требовалось доказать. Подкасательная положительна, т. е. с > 0, если она лежит влево от вертикали, проведенной через данную точку кривой, и, наоборот, отрицательна, если лежит вправо.
22
Термодинамические процессы, протекающие в идеальном газе. Термодинамический процесс, протекающий в идеальном газе при постоянной теплоемкости, называется политропным. Политропный процесс характеризуется заданны;.! коэффициентом а распределения теплоты между изменением внутренней энергии Дм и работой /. Для каждого поли-тропного процесса а — Au/q — const. Выведем уравнение политропы.
Для идеального газа в соответствии с уравнениями (1.37), (1.42), (1.50) и (1.61) можно написать:
Sq = cn dГ = с'|. dТ + р dv и 8q = са dT = ср dТ - v dp,
или
(с„ - cr) dT = р dv; (1.84)
(с„ - c,,)dT = — v dp. (1.85)
Поделив уравнение (1.85) на (1.84), получим
(сп - с,,)/(сп - с\) = -vdp/d)dv).
Так как из определения политропного процесса теплоемкости являются величинами постоянными, то, обозначив
(с„ - ср)/(сП - с„) = л, (1.86)
получим
v dp dv dp ., 0_
п =--i_, или к — + — = 0. (1.87)
р dv v р
В результате интегрирования этого уравнения имеем п Ы v + In р — = const, или In (pvn) — const, или
pvn = const. (1.88)
Уравнение (1.88) называется уравнением политропы, а показатель этого уравнения п — показателем политропы.
Исследование политропного процесса, как и других термодинамических процессов, будем проводить в такой последовательности.
/ I. Найдем связь между основными параметрами состояния: так как Piv" = Pzv'l то
Pi/pi = (vi/vif и v2/vt = (pi/p2)1/n. (1.89)
Совмещая уравнения (1.89) с уравнением состояния идеального газа (1.3), получим
Tt/Тг = (v2/vi)"~l, или TJT2 = (pi/p2)("~1)/п- 0-90)
2. Работа газа: / = $l2рdv. Подставляя в это выражение р =piv"/vn, получим
/-]%.1?-^[1-(">./»2Г']. <1.9D
Заменяя в этом уравнении отношение объемов на отношение температур из уравнения (1.90), получим
23
/ = —~(Тг - Тг) = —Ц-(рЮ1 - P2V2). (1.92)
п ~- 1 м — 1
Подставляя в уравнение (1.91) вместо отношения объемов отношение давлений из уравнения (1.89), получим
/= -^[1-(р2/Р1)(',-1)/'']- (1.93)
п — 1
3. Теплоемкость процесса найдем из формулы (1.86): с„ - с,, — — пс„ — пс,„ или сп — /ссг = пс„ — пс„, откуда
с„ = с0 (1.94)
И - 1
4. Теплота процесса
у = Г2 сийТ= Г с„ ^ск = с0 }^т{гг - «0. (1 95)
5. Изменения внутренней энергии, энтальпии и энтропии не зависят от процесса и поэтому д тя любого процесса, протекающего в идеальном газе, их можно вычислить по формулам (1.50), (1.61), (1.78) и (1.83). Наряду с этим при исследовании политроииых процессов для. вычисления энтропии нашла применение следующая формула:
6я Г1 п-к оТ п - к . Т2
Т- г, * п— "Г== с' —1п "тТ • (1'96)
As =
6. Доля теплоты, идущей на изменение внутренней энергии,
А" а / и ~ к а ,\ " ~ 1
а =----= с„ Д// с„-- At. =-- . 1.97
q \n~\Jn — к
7. Доля теплоты, идущей на работу,
—=1-а= 1-т (1.98)
8. Показатель политропы можно определить путем логарифмирования формулы (1.89):
n^\g(pxlPi)/\Mvx). (1.99)
Основные термодинамические процессы в идеальном газе — частные случаи политропных процессов. При п = 0 уравнение политропы (1.88) принимает вид р = const, т. е. в этом случае будем иметь изобарный процесс. Для этого процесса уравнение состояния принимает вид
в/Г = R/p = const. (1.100)
На рис. 1.5 изобарный процесс представлен в координатах р, v. Площадь заштрихованного прямоугольника есть работа процесса, равная
./, = Jр 6v = р {v2 - Vl) = R{T2~ 71). (1.101)
24
Теплота процесса
Изменение энтропии в процессе
•ТІ
qP = j'l2iCpdt = cp(t2~t1) = Ah процесс
— = С„ In
(1.102)
(1.103)
откуда следует, что в координатах Т, s процесс изображается логарифмической кривой 1-2 (рис. 1.6). В соответствии с вышеизложенным, на рис. 1.6 графически изображены теплота и теплоемкость процесса: при направлении процесса от 1 к 2 теплота подводится к газу и теплоемкость имеет положительное значение.
Как следует из формулы (1.97), а = 1/к. Это значит, что, например, для двухатомных газов
а = 1//с = 1/1,4 = 0,714,
т. е. из всей подведенной в процессе теплоты со 71 % расходуется на изменение внутренней энергии и только со 29 % — на работу.
Напишем уравнение политропы (1.88) в виде p1/nv = const. Тогда, подставляя п=±оо, получим v = const — изохорный процесс, который в координатах р, v изображается прямой, параллельной оси ординат (рис. 1.7, а). Отсюда следует, что работа в изохорном процессе равна нулю. Для этого процесса уравнение состояния Менделеева — Клапейрона примет вид
р/Т = R/v - const. (1.104)
Теплота изохориого процесса
qv = cv dT= cv(t2 - ti) = Au Изменение энтропии в процессе
т
Asv =
Тд c.dT , Т2
—— = cv In —,
r, T Tl
(1.105)
(1.106)
откуда следует, что в координатах Т, я процесс изображается логарифмической кривой 1-2 (рис. 1.7, б). В соответствии с вышеизложен-
Т
Рис. 1.5. Изображение изобарного процесса в координатах р, V
Рис. 1.6. Изображение изобарного процесса в координатах Т, s
