Теплотехника - Чечеткин А.В.
Скачать (прямая ссылка):
153
Рис. 2.20. Зависимость между коэффициентом Вх и критерием В1 для неограниченного цилиндра
Решая совместно уравнение (2.169) с краевыми условиями, получим безразмерную температуру в виде следующей зависимости:
со
$0 (Яя ~ 81П \Хп С08 \1„) \Х„
(2.170)
где К = г/го.
Постоянные и,„ определяются как корни характеристического уравнения
1ёц= -а/(В1- 1). (2.171)
При Ро ^ 0,25 для 0 в уравнении (2.170) можно воспользоваться первым членом ряда
е = & = 2(апц-1 ~ И^созц^т^Д) ^Ро = $о (цх — вши.! созцОи^Я
= 2В1)/ц2-(В1-1)2 ап|х1Л 1Рп
и2 + Вг2 - В1
Й1Я
(2.172)
Для определения температуры в центре или на поверхности шара можно использовать графики, приведенные на рис. 2.21 и 2.22.
154
1 2 3 5" 10 15
Рис. 2.21. Безразмерная температура в центре шара
20 Го
По аналогии с пластиной и цилиндром средняя температура определяется из уравнения
г3 'о
Подставляя 0 из соотношения (2.172), получаем 0 = В!ехр(-р?В1),
где
6ВІ
(2.173)
(2.174) (2.175)
|.1?(р? + В12-В1)-
Величина 2*1 может быть определена по графику, приведенному на рис. 2.23. Расход теплоты определяется, как и в предыдущих примерах, по формуле
<2 = ср (Э0 - &). (2.176)
ТО
Рис. 2.22. Безразмерная температура на поверхности шара
155
0,96
от
0 0>Ч 0}8 1,1
Рис. 2.23. Зависимость между коэффициентом Вх и критерием ВІ
для шара
Нестационарная теплопроводность с учетом внутренних источников теплоты. Термография. Дифференциальное уравнение теплопроводности для одномерного температурного поля с учетом равномерно распределенных в теле внутренних источников теплоты постоянной мощности (Вт/м3) может быть записано в общем виде, как и в предыдущих задачах:
а\ ТТ+—• (2.177)
ох \ ог1 г дг) ср
Решение неоднородных дифференциальных уравнений типа (2.177) методом разделения переменных оказывается малоэффективным. Решение может быть получено проще: методом интегрального преобразования (операционным методом), например методом интегрального
156
преобразования Лапласа. Операционные методы имеют ряд преимуществ перед классическими методами. Метод стандартен и позволяет получать решения в удобном для анализа виде — при малых и больших значениях Ро.
Интегральное преобразование Лапласа определяется формулой
Ь[.Ах)]=./1(5) = |оЮЛт)е--с1х,
где/(т) — функция, аД(5) называется изображением функции и обозначается обычно в виде Ь[/(т)].
Решение задач теплопроводности методом преобразования Лапласа существенно упрощается благодаря наличию таблиц изображений. В результате преобразования решать приходится обыкновенное алгебраическое уравнение, после решения которого применяют обратное преобразование (по таблицам), являющееся решением исходного дифференциального уравнения. Широкое использование операционного метода при решении самых разных задач теплопроводности нашло в работе «Теория теплопроводности» А. В. Лыкова (М., 1967).
Приведем результаты решения некоторых несложных задач.
Неограниченная пластина толщиной 25 с начальной температурой г0 нагревается в среде с постоянной температурой гж. Внутри пластины действует источник теплоты постоянной мощности <?и. Найти распределение температуры по толщине пластины.
Математическая формулировка задачи может быть записана при Г = 0 и г = х:
Начальное условие Граничные условия:
дх дх2 ср' О (х, 0) = &о = *ж - *о.
03(0, т) =а
дх
(2.178) (а)
(б) (в)
Решение задачи в безразмерных величинах будет
00
- ^^1 + -^г) А„ соз ^ц„у^ ехр (- р^?о), (2.179)
п= 1
где Ро = - ^—- - критерий Померанцева.
Л- (?>к — *о)
При отсутствии источников теплоты 4 = 0 решение (2.179) превращается в полученное выше решение задачи [формула (2.149)]. Постоянные ц,, и А„ сохраняют значения в решении (2.149) и равны соот-
157
Рис. 2.24. Простые и дифференциальные термограммы прогрева образца при отсутствии внутренних источников теплоты (а) и с внутренними источниками теплоты (б)
00
I
п= 1
1 +
РсЛ
В„ехр(-й„2Ро). (2.180)
Особый интерес представляют задачи нестационарной теплопроводности для систем, в которых протекают химические процессы. В этом случае мощность внутренних источников теплоты не остается постоянной, а связана с кинетикой самого химического процесса.
На рис. 2.24, а показано изменение температуры на поверхности *„ и в центре гц пластины, нагреваемой в среде с постоянной температурой гж — при отсутствии д (пунктирные) и при наличии внутренних источников теплоты переменной мощности 4„ (т). Если в системе протекает экзотермическая реакция, то начиная с момента времени т0 температура в центре пластины будет превышать температуру поверхности. Температуры будут сближаться, когда химический процесс будет затухать и асимптотически стремиться к гж, когда реакция закончится. На рис. 2.24,6 показаны зависимости Дг = г„ — гц =/(х) для инертного материала пластины при простом прогреве (кривая а) и при наличии реакции с экзотермическим эффектом (кривая б). Кривые Дг = /(т.) называются дифференциальными термограммами.
В химическом процессе выделяющееся количество теплоты пропорционально количеству прореагировавшего вещества. Степень превращения вещества может быть выражена соотношением
