Теплотехника - Чечеткин А.В.
Скачать (прямая ссылка):
. .. 2sinp„ А„ = lim-:-—-
(Ли + sin \Хп COS \i„
принимает значения: = 1, А2 — А3 = ... = А„ = 0. Безразмерная температура находится
147
Безразмерные температуры поверхности и оси пластины практически равны: _
е*=о = е-впг°; ех=й = со51/В1 .е-ъ*°.
Рис. 2.15. График для расчета температуры поверхности
148
Определение расхода теплоты на охлаждение (нагревание) пластины проводится в такой последовательности. Находим изменение энтальпии единицы объема материала стенки за произвольный промежуток времени
(2 = скр (&0 - &). (2.153)
Подставляя вместо Э0 и & их значения, получим
б = ср (г о - ?ж) ^ 1 - = ср (Г0 - г ж) (1-е). (2.154)
Средняя по толщине пластины температура $ в соответствии с теоремой о среднем может быть определена по формуле
&(.х, т)с1х. (2.155)
о
Подставив в формулу (2.155) значение 0 из уравнения (2.149), получим
m
*8
9 =
5~I Z/"cos (i-i''y)exp("'-i»Fo)dx=
0 п= 1
Y У Ая ехр (- ц2 Fo) = Эо > В» ехр (- u2Fo). (2.156)
Средняя относительная температура пластины
9 = A= ? ?„exp(-u2Fo), (2.157)
&0 н=1
где
sin ц„ 2Bi
Вп = А„
ц„ рп2(Ві2 + Ві + ц,,)
Как видно из уравнения (2.157), величина 0 зависит лишь от чисел подобия Fo и Bi. Ряд (2.157) быстро сходится и при Fo 5* 0,25 можно ограничиться первым членом ряда:
0 = Bie-MfFo. (2.158)
2Bi
Величина Bi = —j—тч-—:-2Г зависит только от критерия Био
|ii (Bi + Bi + Yi\)
и для ее определения удобно пользоваться графиком, приведенным на рис. 2.16.
149
О_ 04 0, в /,2_16
Рис. 2.16. Зависимость Вх = /(В1) для уравнения (2.158)
Рис. 2.17. Графический способ определения корней характеристического уравнения
Охлаждение (нагревание) цилиндра. Граничные условия третьего рода. Рассмотрим бесконечно длинный цилиндр радиусом г0, охлаждаемый через боковую поверхность в среде с постоянной температурой гж. Коэффициент теплоотдачи остается постоянным в течение всего процесса охлаждения. Требуется найти распределение температуры в цилиндре I (г, х) и плотность теплового потока.
Дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндрической системе координат (2.133) при Г = 1 будет
д1 _ ( дН \_dt_ дх V дг2 г дг
= «(^-г + - —)• (2.159)
Как и в предыдущем случае, введем новую переменную & = г - гж и уравнение теплопроводности перепишем в виде
1х- = \-^ + Т-87) (гт
Начальное условие при х = 0 $0 — const (а)
Граничные условия:
т.
Задача, как и для неограниченной пластины, может быть решена методом разделения переменных. Приведем окончательное решение в безразмерной форме:
"=' "=1 (2.161)
где R = r/t-Q - безразмерный радиус, который изменяется в пределах
О ^ R ^ 1; J0 (ц„), Jo(ix„R), J і (u„) — функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядков.
Характеристические числа ц„ являются корнями трансцендентного уравнения
і0(ц)АМ|і) = ц/ВІ. (2.162)
На рис. 2.17 представлен вид функций у0 = Jo G-0 и yx = Ji (ц), а также графический способ решения уравнения (2.162). График функции >'2 = J о (Vі)/J і (ц) напоминает котангенсоиду с убывающим периодом, а график функции у = u/Bi — прямую линию, проходящую через начало координат. Первые три корня уравнения (2.162):
В і........0,0 0,01 0,10 1,0 10,0 80,0 100,0 оо
Ui........0,000 0,1412 0,4417 1,2558 2,1795 2,3750 2,3809 2,4048
u2........3,8317 3,8343 3,8577 4,0795 5,0332 5,4516 5,4652 5,5201
ц3 ........7,0156 7,0170 7,0298 7,1558 7,9562 8,5466 8,5678 8,6537
151
Все принципиальные выводы о влиянии критерия В1 на температурное поле, сделанные для неограниченной пластины, остаются в силе и для бесконечного цилиндра. При Ро ^ 0,25 ряд (2.161) быстро сходится и для практических расчетов можно ограничиться учетом первого члена ряда. Тогда для расчета температуры на поверхности цилиндра можно использовать формулу
6Г = Го = А^о (рхД) е-&° = N0 (В*) е~№°. (2.163)
Для оси цилиндра
6Г = 0 = А1е-^° = М0(В1)ехр(-р?Ро). (2.164)
Величины 6,. = Го и 0Г=О являются функциями только чисел подобия
"Т- и ^°~~т- Для их определения по уравнениям (2.163)
К Го
и (2.164) пользуются графиками, приведенными на рис. 2.18 и 2.19. Изменение энтальпии тела за время т определяется формулой
<2 = ср(&0-§). (2.165)
Средняя относительная температура цилиндра определяется по формуле
§=-ЛгГ Э2тсг ёг. (2.166)
тег2 о '
Подставив значения Э из (2.161), после интегрирования получим
00 00
« = 1 —1 (2.167)
При Ро ^ 0,25 воспользуемся первым членом ряда (2.167), тогда
Предэкспоненту, зависящую только от В1, можно определить графически, как показано на рис. 2.20:
4В1
ц2(и2 + ВІ2)
Охлаждение (нагревание) шара. Граничные условия третьего рода. Математическая формулировка задачи охлаждения шара радиусом г состоит в следующем. Дифференциальное уравнение теплопроводности шара в сферических координатах запишется
д& (дЧ . 2 д§
Начальные условия
й=Ч^+Т-аГІ- (2169>
$ = $о = ?о — *ж при х = 0. (а)
Граничные условия:
152
Рис. 2.19. Безразмерная температура на поверхности неограниченного цилиндра
