Теплотехника - Чечеткин А.В.
Скачать (прямая ссылка):
Граничные условия второго рода состоят в задании плотности теплового потока на поверхности тела
В частном случае плотность теплового потока может быть постоянна qc = const. Этот случай может наблюдаться при нагревании тела внешним электронагревателем или при нагреве излучением в высокотемпературных печах.
Граничные условия третьего рода состоят в задании температуры окружающей среды и интенсивности теплообмена на поверхности тела. Эта интенсивность теплообмена оценивается коэффициентом теплоотдачи а, а тепловой поток на поверхности пропорционален разности температур окружающей среды гж и поверхности тела tc. С другой стороны, плотность теплового потока может быть выражена в соответствии с законом Фурье.
С учетом (2.7) и (2.8) граничное условие третьего рода запишется в виде
Граничное условие третьего рода широко используется на практике. В задачах теплопроводности при условии аД->-со, соответствующем условию В1 = (а/)Д -> со, граничные условия третьего рода переходят в граничные условия первого рода. При теплообмене большой иитен
*с = f(x, У, Z, х).
(2.72)
Чс = fix, у, z, х).
(2.73)
(2.74)
5 А. В. Чечеткин, Н. А. Занемонец
129
8t
XlJn~
(2.75)
2
сивности температура поверхности практически становится равной температуре омывающей ее жидкости tc (т) = гж (т).
Граничные условия четвертого рода характеризуются равенством тепловых потоков, проходящих через поверхность контакта двух тел:
~Х Л Г 2 дп
При совершенном тепловом контакте изотермы непрерывно переходят из одного тела в другое, а градиенты температур в точках контакта удовлетворяют условию (2.75).
Дифференциальное уравнение теплопроводности (2.63) совместно с условиями однозначности дает полное математическое описание конкретной задачи теплопроводности. Решение этой задачи может быть выполнено аналитически, численно с применением ЭВМ или экспериментально с использованием методов подобия и моделирования.
Рассмотрим несколько простейших задач теплопроводности.
Стационарные одномерные системы без источников теплоты. В основе решения приведенных ниже задач лежит дифференциальное уравнение энергии (2.24).
Плоская стенка. Граничные условия первого рода. Рассмотрим неограниченную плоскую стенку, толщина которой значительно меньше двух других размеров (рис. 2.5). Такую стенку иногда называют тонкой. Пусть на поверхностях пластины поддерживаются температуры t'c и г", а теплопроводность материала равна X.
При стационарном тепловом режиме dt/dx — О для одномерного температурного поля, когда температура изменяется только по координате х и не зависит от j; и г, дифференциальное уравнение теплопроводности принимает вид
d2f/dx2 = 0. (2.76)
Граничные условия первого рода для данной задачи будут:
при х — 0 t = t'c;
при х = 5 t = t"c. (2-77>
Интегрируем уравнение (2.76) и получаем общее решение dt/dx =Си и окончательно
t(x) = Схх + С2, (2.78)
где Сх и С2 — постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий (2.77).
Полагая х = 0, находим С2 = r'tt а при х = 6* имеем t%= С\Ь + *'0 откуда Ci = (t"c - *'c)/5.
Подставляя значения постоянных интегрирования в формулу (2.78), получим окончательное решение уравнения (2.76) при граничных условиях (2.77)
t(x) = t'c-(t'c-t"c)~. (2.79)
Из (2.79) видно, что t(x) линейно зависит от х. Распределение
130
температуры внутри плоской стенки показано па рис. 2.5. Плотность теплового потока при постоянной теплопроводности можно определить из закона Фурье 4 = — Xgгaclг.
В случае неограниченной плоской стенки grad I = дt/дx. Значение Ы/дх было найдено выше и равно Су = (?'с — г/с)/5. Подставляя значение градиента температуры в выражение закона Фурье, получаем
4=у('е-<с). (2-80)
Количество теплоты, передаваемое теплопроводностью через поверхность стенки Г, равно
е = у(Г'с-Г'с)Г. (2.81)
Для многослойной стенки, состоящей из п слоев, при стационарном тепловом режиме значение плотности теплового потока будет постоянно и может быть записано для каждого из слоев следующими соотношениями:
для первого слоя д = -^~(^с — и 0;
01
для второго слоя д = т^-(гс 1 — 'с ->);
02
X
для п-го слоя а = -=М*с,н - *'с),
0«
где гс,ь *с.2,...,*с,и - температуры между Решая эти уравнения относительно лучаем слоями,
температурных напоров, по-
Рис. 2.5. Стационарное распределение температуры в процессе теплопроводности внутри однослойной плоской стенки
Рис. 2.6. Стационарное распределение температуры в процессе теплопроводности в трехслойной плоской стенке при %1 > Х2 > Х3
5*
131
Сложив эти уравнения и решив относительно плотности теплового потока, получим
? с — ?'с ? с — *с
^ 81А1 + 52/Х2 + ... + 5„Д„ ^, ^ '
1=1
где I — порядковый номер слоя.
п
Величина ? (5,-Дг) представляет собой сумму термических сопротив-1 = 1
лений слоев стенки = 5,Дг и называется полным термическим сопротивлением многослойной стенки Яст.
Определив значение ц из (2.82), можно рассчитать температуры
МеЖДу СЛОЯМИ Ге>;.
На рис. 2.6 показано изменение температуры в трехслойной плоской стенке при 61=82 = 83 и Хх > Х2 > Х3, а на рис. 2.7 — при условии Хх <Х2 <Х3.
