Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
1Ф (х, у, z) = -{- bSi {х, yt z)t для произвольных функций
Ф (х, у, г, s) = 5^ _ ,Ф (х, у, г, —1) + 1Ф (х, у,г,\)
мы имеем
8гФ (х, у, г, s) = sz (bs,-,Ф(х, у, z, —1) + 8Л ,Ф (х, у, г, 1)) =
= — К-1®(х, у, г,— 1) + ВЛ ,Ф (jc, у, г, 1),
згФ (х, у, г, s) = 2 %/ф (х, у, г, t) = «Ф (х, у, г, s), t=± i
в силу линейности операторов эг.
Так как оператор действует только на спиновые координаты, то, подобно Q^, его матричный вид будет
У (20.21а)
Определим теперь оператор h, соответствующий Z'-компоненте спина Для наблюдателя в системе координат, осью Z которой является Z', этот оператор равен просто sz, поскольку для этого наблюдателя, по определению, все операторы имеют тот же вид, что и для первого наблюдателя, за исключением того, что они относятся к его собственной системе координат. С другой стороны, этот оператор должен получаться из h путем преобразования с помощью оператора О^, так что
s2. = 0^h0^1, h = О^^Од.
Тогда в силу (20.12) (а также в силу коммутативности с зг) следует, что
h = VifVi8*p*Q* = V«8*Q* с20-22)
Если для всех операторов, входящих в (20.22), воспользоваться матричной, формой (они действуют только на s), получим
h = и (Л)+ szu (R).
Теперь из соотношения (15.11) следует, что наш оператор h совпадает с матрицей, использованной в этом соотношении, если положить h = 8г (т. е. х' = у' = 0, г' = 1). Вектор г = (х, у, г) в разенстве (15.11) представляет собой вектор, компоненты которого получаются из г' (с компонентами х' = у' =0, г' = 1) путем преобразования R~l и, следовательно, япляется единичным вектором в направлении Z'. Поэтому равенство (15.10а), определяющее h, принимает вид
h = a, s* + a2sy + a3sz, (20.22а)
276
Г лава 20
гдея|,я2, а3 — направляющие косинусы оси Z'. Из (20.22а) видно, что оператор Z'-компоненты спина построен из операторов компонент X, Y, Z, определенных в (15.10),
а- •>-(-! о)' *-г; :)¦
точно таким же способом, как и оператор Z'-компоненты координаты (оператор умножения на а,х + а2у + аъг) образован из операторов координат XYZ. Операторы этого типа называются „векторными операторами''.
Соотношение (15.11) показывает, что оператор (Rr, s) = (г', s) для Rr-компоненты спина получается из оператора (г, s) для г-компоненты спина путем преобразования с u (R)~l (т. е. с Qjj1)-
В теории спина изложение чаще всего начинают прямо с (20.22а), положив это равенство в основу всей теории.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Линейность и унитарность операторов вращения
Пусть Ф — волновая функция, приписанная вторым наблюдателем тому состоянию, которое первый наблюдатель описывает волновой функцией Ф. Воспользуемся аналогичными обозначениями для всех других состояний. Тогда, согласно (20.8), для всех функций f и Ф имеем
|(ЧГ, Ф)| = |(Ф, Ф)|. (20.80
В действительности (20.80 справедливо только в том случае, если и Ф соответствуют физическим состояниям и, следова-. тельно, нормированы. В противном случае мы вообще не можем рассматривать „второе описание" состояния Ф, так как только нормированные Ф представляют состояния. Однако полезно определить функции Ф' и для ненормированных Ф'. А именно, положим Ф/=дф1 если Ф/=оФ, причем Ф нормирована. Тогда (20.8У) справедливо для всех функций.
Кроме того, (20.8У) не меняется, если умножить f и Ф на постоянные с абсолютной величиной 1. Покажем, что эти постоянные сф можно выбрать так, чтобы выполнялось не только соотношение
|(0*ЧГ, 0*Ф)| = |(ЧГ. ф)|. (20.8)
но и соотношения
(0*ЧГ. О*Ф) = 0Г. Ф), 0*(вЧГ + йФ) = а0*ЧГ+Ю*Ф,
для всех C4.W=0^ и сфФ = ОдФ, где а и Ь— произвольные постоянные. Трудность в переходе от (20.8) к (20.8а) заключается
Спин электрона
277
в том, что для (20.8) требуется только равенство абсолютных величин скалярных произведений (ОдЧ\ ОдФ) и (*Р, Ф), тогда как для (20.8а) нужно, чтобы фазы также были равны, причем для всех функций одновременно.
Если функции Tj, Tj, ... образуют полную ортогональную систему, то тем же свойством обладают и Tj, .... Из соотношения (W;, Wk) = blk и (20.8У) следует, что (?,, *РЛ) = 8/Ли, если не существует функции, ортогональной всем то не может существовать функции, ортогональной всем
Рассмотрим теперь функции Fx, которые соответствуют функциям Fx = Ч",-(-ЧГХ при х=1, 2, 3, 4, .... Если Fx разложить по полной ортогональной системе Wj, ..., то все коэффициенты разложения (Wx, Fx) будут равны нулю, кроме коэффициентов при Wj и *РХ, которые по абсолютной величине равны 1, так как (Ч/^, Fx) не обращается в нуль только при Х = 1 и 1 = »; для этих же значений X скалярное произведение равно единице. Таким образом, имеем
