Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
*ххх + *хуУ + *хж* = х''
%ухх + КууУ + %yzz = /•
R«*+R*yy+R«* = *'•
(R является вещественной ортогональной трехмерной матрицей с определителем 1.) Функция ОдФ может быть определена как волновая функция, приписываемая состоянию Ф вторым наблюдателем, или как волновая функция первоначального состояния Ф, повернутого с помощью преобразования R, и обнаруживаемая первым наблюдателем.
Если бы волновая функция зависела только от пространственных координат частиц, оператор Од был бы просто точечным преобразованием Рд (см. гл, 11):
Pr<?(x', у', z') = (f(x, у, z\ (20.7)
266
Глава 20
Равенство (20.7) утверждает просто, что волновая функция Рд(р для второго наблюдателя в точке х', у’, г’ принимает то же самое значение, что и волновая функция для первого наблюдателя в точке х, у, г. Это должно быть верно, так как точку х, у, г второй наблюдатель называет х', у', г'.
При включении спиновых координат, наряду с пространственными, преобразование Од не может оставаться просто точечным преобразованием, так как s нельзя подвергнуть точечному преобразованию. По этой причине Од будет более общим оператором, чем Рд. Предположим, что существует система операторов Од (каждому вращению R принадлежит некоторый оператор Од), и попытаемся найти его, исходя из основных предположений теории Паули и требования равноправности наблюдателей, связанных с различными системами координат. Мы найдем, что существует только одна система операторов, удовлетворяющих этим условиям. Ее определение позволит сделать важные заключения о свойствах электрона со спином.
5. Описание второго наблюдателя, который приписывает состоянию Ф волновую функцию ОдФ. должно быть вполне эквивалентным первоначальному описанию. В частности, оно должно давать те же самые вероятности переходов между двумя произвольными состояниями f и Ф, какие даются первым:
|(ЧГ, Ф)|2=|(0*ЧГ. ОдФ)|2. (20.8)
Здесь важно заметить, что, хотя состояние Ф, которое представляется как состояние О/гФ для наблюдателя, связанного с повернутой системой координат, задано полностью указанием его волновой функции, волновая функция второго наблюдателя для этого состояния не определена однозначно. Она может быть умножена на произвольную постоянную с, имеющую абсолютное значение 1, так как волновые функции ОдФ и сОдФ описывают одно и то же физическое состояние. Это означает, что оператор Од не является однозначным — для всякой функции Ф в Од имеется свободный множитель. Будет показано (см. приложение в конце настоящей главы), что этим произволом в О* можно воспользо-рзться так, чтобы для всех f и Ф имели место соотношения
(W, Ф) = (0*ЧГ, ОяФ) )
и } (20.8а)
0*(вФ + МО = аО*ЧГ + Ю*ЧГ )
{а и Ъ— постоянные); иначе говоря, так, чтобы Од стал линейным оператором. Тогда два способа описания — один для наблюдателя в первоначальной системе и другой для наблюдателя в повернутой системе координат — отличаются только каноническим пре-рбразованием, что рбеспечивает их полною физическую эквива-
Спин электрона
281
ленгность. Второй наблюдатель воспринимает состояние с волновой функцией Ф как ОдФ; величине, которая соответствует оператору Н для первого наблюдателя, соответствует оператор ОдНОя' с точки зрения второго наблюдателя.
Наоборот, требование (20.8а), чтобы Од был линейным унитарным оператором, определяет постоянную с$ однозначно для всех волновых функций, кроме одной. Если сОдФ подставить вместо волновой функции Ол>Ф. то для сохранения в силе соотношений (20.8а) все волновые функции должны быть одновременно умножены на с. Чтобы убедиться в этом, подставим сОдФ вместо ОдФ в (20.8а), оставив неизменной, скажем, ОдЧг; тогда, если (20.8а) должно выполняться для этой новой системы, то
(ЧГ. Ф) = (0*ЧГ, с0*Ф) = с(0*ЧГ. О*®).
откуда вместе с (20.8а) следует, что с= 1. В дальнейшем мы всегда будем выбирать функцию ОдФ так, чтобы (20.8а) выполнялось; тогда для всех волновых функций ОдФ (где/? — заданное вращение) остается свободной лишь одна константа. Эта константа может, однако, зависеть от R.
6. Рассмотрим теперь два состояния 'Р_=ф(л:, у, z)bs, и 'Р+ = ф(л:, у, г)8л+1. Для „бесспиновых" опытов оба эти состояния ведут себя так, как если бы их волновые функции были равны ф(л:, у, z). Поэтому пока рассматриваются „бесспиновые" опыты, для наблюдателя в повернутой системе координат они представляются как состояние с волновой функцией Рдф(л:, у, z). Поэтому, согласно (20.5), волновые функции 0/?Чг- и 0?ЧГ+ должны иметь вид
ОА.-1Ф(*. У. *) = “,.-iPtfK*. У- *)•
OA.i'K*. У> z) = us,iPi$(x, у, z),
где ил_! и uitI не зависят от х, у, z и на данном этапе могут быть различными для разных ф. Однако, если tp является состоянием, отличным от ф, для которого справедливо соотношение
