Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Глава 20
СПИН ЭЛЕКТРОНА
Физические основы теории Паули
1. В предыдущей главе обсуждались наиболее важные свойства атомных спектров, которые могут рассматриваться без введения спина электрона. Однако многие из менее очевидных характеристик, среди которых наиболее важной, по-видимому, является тонкая структура, не могли быть объяснены, так как они тесно связаны с иным свойством электрона — его магнитным моментом.
Гипотеза о том, что электрон имеет магнитный момент и момент количества движения („спин“), была выдвинута Гаудсмитом и Улен-беком. Еще до создания квантовой механики они заметили, что невозможно дать полное описание спектров, не приписывая электрону магнитный момент и механический момент: концепция электрона как точечного заряда оказалась недостаточной. Как известно, в классической электродинамике магнит эквивалентен точечному заряду, вращающемуся вокруг оси магнитного момента. Тогда вектор магнитного момента ц. связан с моментом количества движения L соотношением
где е — заряд вращающейся частицы и т. — ее масса. Однако, как показали Гаудсмит и Уленбек, соотношение (20.Е.1) не применимо к Магнитному моменту, обязанному спину, если взять обычные заряд и массу электрона. Вместо этого следует предположить, что момент количества движения равен
тогда как магнитный момент равен целому магнетону Бора
eL .
(20.Е.1)
(20.1)
тс
е
|S| = 2t)|S
(20.1а)
Квантовая механика электрона со спином показывает, что эти утверждения нельзя понимать буквально. Даже теория Паули требует, что не может быть осуществлен эксперимент, позволяющий
262
Глава 20
определить направление (в частности, направляющие косинусы) механического или магнитного моментов. Возможно лишь различить между одним направлением и противоположным ему. Следовательно, вопрос о вероятности различных пространственных направлений спина не имеет смысла, т. е. не может быть решен с помощью эксперимента; измерена может быть лишь проекция спина на какое-либо одно направление. Такие измерения, примером которых служит опыт Штерна—Герлаха, могут дать только два ответа: либо спин ориентирован по рассматриваемому направлению, либо он имеет противоположное направление. Возможными экспериментальными результатами для проекции момента количества движения на рас-
, й й г,
сматриваемое направление являются или —у- Если при
измерении проекции спина на ось Z получен первый результат, то повторное измерение проекции спина на ось Z, выполненное немедленно, с достоверностью даст направление -\-Z и кедаст1—Z. С другой стороны, измерение проекции на ось У дает с равной вероятностью два возможных результата: -(-К и — У. Поэтому важно приписать независимые вероятности всем направлениям спина; даже в том случае, когда спин с достоверностью направлен по оси Z
^т. е. если проекция момента количества движения на ось Z с досто-
а для всех направлений, кроме — Z, вероятность отлична от нуля.
Спин приобретает еще более символический характер в релятивистской теории электрона Дирака, как это было подчеркнуто, в частности, Н. Бором. Согласно этой теории (которую мы не будем здесь обсуждать), существование магнитного момента является целиком релятивистским эффектом, который выступает автоматически, когда пространство и время рассматриваются как равноправные.
2. В теории Паули магнитный момент описывается дополнительной координатой s в волновой функции, которая при этом принимает вид Ф(х, у, z, s). В то время как х, у, z изменяются от —оо до -(-оо, координата s может принимать только два значения: —1 и -)-1. Поэтому волновая функция электрона состоит в действительности из двух функций от х, у, г: Ф(х, у, z, —1) и Ф(х, у, z, 1). То обстоятельство, что переменная s (в противоположность координатам х, у, z) может принимать лишь два значения, отражает тот факт, что компонента спина, например в направлении Z, может иметь лишь два значения ,
тогда как координаты, определяющие положение, могут принимать все значения от — со до -J- оо
верностью равна
вероятность направления -(- У равна ,
Спин электрона
263
Скалярное произведение двух функций от х, у, z и s определяется как непосредственное обобщение скалярного произведения, которое мы видели выше. Скалярное произведение двух функций у(х, у, z) и g(x, у, г) было определено как предел суммы
2 <р(*. У. z)* g (х, у, г).
х, у, г
где суммирование должно распространяться на всю область от — оо до -(-оо. Аналогичным образом, скалярное произведение Ф (х, у, z, s) и G(x, у, z, s) равно
2 2 ф(*. У> «)*0 (х, У> s)> (20-2)
s = ±1 х, у, г
где суммирование снова производится по всей области изменения переменных. Переходя к пределу, получаем
