Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку система спиновых координат может принимать 2Л различных наборов значений, оператор Q# эквивалентен 2л-мерной матрице; ее строки и столбцы нумеруются п индексами, причем
ОО
$i=±l $а=±1 sn~± 1
XG(*!.......sn)dxx...dzn. (21.5)
0*®(*1. Уи z\, Sj......х„, уп, zn, sn) =
ХР*Ф (Xv yv zu tx...............xn, yn, z„, tn) (21.6V
И
<Э/Ф(*1, yx. ZV Sj.......xn, yn, zn, sn) =
У» zl> «1..................*П> Ул. Zn> Sn) =
= 2 •• . 2 1 , X
284
Глава 21
каждый индекс может иметь значения +1, соответствующие двум возможным значениям спиновых координат. Матричной формой является
a*=®W(R)x®«)y?)x ... xx^W (216в)
п п 2 " 2 1 2 V 2 п
Все операторы Р коммутируют с операторами Q^:
PsQ* = Q*Ps
и, в частности, (21.8)
0/?= РяОя = Q*P*.
Кроме того, оператор 0/ = Р/ коммутирует со всеми Pr и, следовательно, в силу (21.8), со всеми Оя. где R— любое чистое вращение.
Операторы определяются вращением лишь с точностью
до знака, так как ?)'2'(/?) имеет свободный знак. Для четного числа электронов эту неоднозначность можно устранить условием,
чтобы все ?)V2'(/?) в (21.6) и (21.6в) брались с одним и тем же знаком. Для нечетного числа электронов оператор Q# невозможно сделать однозначным.
3. Если мы переходим сначала к координатной системе, повернутой на R, а затем — к системе координат, повернутой относительно этой последней на S, то волновая функция Ф преобразуется сначала в 0#Ф> а затем — в OsO#®. Но переход к той же самой системе координат осуществляется одним вращением SR. В этом случае получается волновая функция О sr Ф. которая может отличаться от OsOrФ лишь постоянным множителем. Далее, поскольку OsOr и О sr линейны и унитарны, этот множитель одинаков для всех волновых функций и может зависеть только от вращений 5 и R:
Osr = cs,rOsOr' (21.9)
Поскольку преобразование к иной системе координат всегда можно выполнить с помощью линейного унитарного оператора, соотношение (21.9) не использует никаких специальных предположений теории Паули и является необходимым следствием инвариантности системы уравнений относительно пространственных вращений. В конце этой главы мы проведем дальнейшее исследование этого равенства и получим ряд следствий, которые должны выполняться в любой квантовой теории.
Квантовое число полного момента количества движения
285
Соотношение (21.9) можно, разумеется, проверить вычислением. Прежде всего в силу (21.8)
OsOr = PsCXsPtfQtf = PsPtfQsQ;? = Ps^QsQ^-
Для четного числа электронов матрицы (21.6в), представляющие собой матричный вид операторов Q, образуют однозначное представление группы вращений, так что 0s0.r = 0sr и мы имеем
OsOr = PstfCXsQtf = PstfQstf = Osr- (21.10a)
В этом случае в (21.9) cSI? = 1 и операторы Or образуют группу, изоморфную группе чистых вращений. Следовательно, в этом случае можно определить функции, которые по отношению к операторам Or принадлежат одной строке некоторого неприводимого представления или просто некоторому неприводимому представлению группы вращений.
Для нечетного числа электронов матрицы (21.6в) образуют двузначное представление группы чистых вращений; поскольку QsQtf = ± Qsr,
OsOr = PsrQsQr = i Ps/?CXs/? = i О sr- (21.106)
Постоянная cs ± 1 в (21.9), и операторы Оя уже не изоморфны группе вращений. В силу двузначности операторов Or каждому вращению соответствуют два оператора-)-Or и —Or-Так как в гомоморфизме унитарной группы J) на группу вращений каждому вращению соответствуют две унитарные матрицы u'= ?)('w (/?) и и = — (/?), можно попытаться установить одно-
значное соответствие между О и и. Это можно осуществить, если каждому и сопоставить Ои = Qu • Ptfu и принять, что u X u X • • • Xu является матричной формой оператора Qu в соответствии с (21.6в), тогда как Ru является вращением, соответствующим и в гомоморфизме. Тогда каждый оператор Qu однозначно соответствует одной матрице и. Так как вращения Ru также однозначно соответствуют матрицам и, то тем же свойством обладают и операторы Р#. Кроме того, из соотношения
(и X и X • • • X и) • (v X v X • • • X v) = uv X uv X • • • X uv,
и из RURV = RUV следует, что P*uPtfv = Ptfuv и поэтому
OuOv = Ouv*
*) Точнее, группы двумерных унитарных матриц с определителем 1.
286
Глава 21
Таким образом, для нечетного числа электронов функции /_у, •••. }j-1. fj, Для которых справедливо соотношение
' Ои//>= 2 и(Л (и) , /\!К (21.11)
и- =— 1
принадлежат различным строкам представления Ц(Л унитарной группы. Следовательно, они удовлетворяют соотношениям, выведенным в гл. 12 для функций, принадлежащих неприводимым представлениям любой группы.
