Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Fx = yx{%+xxWx), Ы = |**| = 1 (при * = 2. 3, ...). (20.23).
Выберем теперь значение одной из постоянных сТ] = 1 и запишем ст = л: и с„ = 1/v. Тогда
X X
о/,=т, О
~ (20.24)
Од (*, + ЧГ„) = 0*/\ = cfFx = Ь. = o*4Tj + ол-
. Пусть теперь Ф является произвольной функцией, разложенной по функциям
Ф = fljWj + a2W2 + fl3W3 + .... (20.25)
Разложим Ф по полной ортогональной системе функций ОцЩ,
о*чг2. • • •
Ф = fliO^i-f-ОгОл'Рг-ЬОзОдЧ’з-)- ....
Таким образом,
II = I(0*ЧГ„ Ф)I = |(хХ, ф)I = |(ЧГ,, ф)\ = \ах\ (20.26),
и, в частности, | ах \ = \ ах |. Поэтому мы выберем сф = flj/flj. так что
ОдФ = сфФ = 0,0^ + а'20^2 + Ф^г + •••• (20-27)
278
Глава 20
К тому же |a'| = |aj_ В действительности окажется, что а'х = ах. Чтобы показать это, применим (20.8) к паре функций Fx = и Ф. Прежде всего мы находим
|(Fx, Ф)1 = |(^+?х, Ф)| = |aj + oJ.
Аналогичным образом, поскольку Fx и Ф отличаются от 0#FX и ОдФ только постоянным множителем с модулем 1,
к/5,, ф) 1=1(0,л, о„Ф|| =
= |(<V,+°A- «,ол+«;ол+ ••¦)1 = К+<1-
Следовательно, | ах -)- ах |2 = | ах -)- а'х |2 или
| °i |2 + аК + +1 < |2 = | °i Г + аХ + ai< +1 аг |2.
Величины а'* можно исключить из этого соотношения, пользуясь равенством а'ха'* = аха*, в результате чего для а'х получаем квадратное уравнение
а*ах — (а*ах -)- Ojfl*) а'х + ах | ах |2 = 0. (20.28)
Из (20.28) следует, что либо
а' = а , либо а' = ---- . (20.29)
* * aj
В первом случае для каждой функции Ф = 2°хЧгх и Чг = 2^хЧГх
X X
= OrW = 2 bxOj^Wx, (20.30)
X X
а также
Од (аФ + ЬЧГ) = О* 2 (аах + ЬЬХ) =
X
= 2 (°о* + ЬЬХ) Од 'Р* = оОдФ +
X
так что оператор о* действительно является линейным. Далее
(Од^, Одф) = (2 *хО#х, 2 ЯлО*чМ = 2 bWb* = 2 Ь*хах
\ х X / хХ х
и, кроме того,
(Ч\ Ф) = (2 ЪХЧХ, 2 «хЧГх) = 2 blaAl = 2 bUr.
\ х X / хХ х
Оператор Од является также унитарным, тем самым соотношение (20.8а) доказано.
Спин электрона
279
Необходимо еще показать, что второе возможное значение о' в (20.29) не может осуществляться. С этой целью подставим
0*Ф = 0*2в,ЧГ11 = 2а;0*Ч1г, (20.31)
X X
вместо
ОдФ = о* У а-ДГ, = 4 У а;о*чг„.
мм а
X 1 X
т. е. умножим ОдФ на a*jal% Это не может, разумеется, изменить содержания описания.
Рассмотрим теперь две собственные функции оператора Гамильтона, т. е. два стационарных состояния х = 2м*Чгх и х/ = 2и^*
X X
с различными энергиями Е и Е'. Тогда
Е Ег / Е Е' \
Xе ‘ н ‘ п / = ‘ h ‘ + и'%е ‘ h l)wx (20.32)
X
будет решением зависящего от времени уравнения Шредингера. При втором описании, в силу (20.31), функция
о*х=2«;о*чг,
X
должна соответствовать состоянию у, а функция
osz'=2«;*ost,
X
состоянию х'. В то же время энергии при втором описании по-прежнему равны Е и Е'. Поэтому функция
Е . , Е’
-1
е
Е Е' / Е Е' \
1т‘онг + е ‘ * =h\Ke ‘ А‘-^и'*е~‘1Г)0/^х
(20.33)
также должна быть решением уравнения Шредингера, представляющим состояние, совпадающее с состоянием (20.32) при t = 0,
и, следовательно, представляющим то же самое состояние в течение всех последующих моментов времени. Но это невозможно, так как, согласно (20.31),
23(в,Г'т, + <Г'“/) ОД,
X
соответствует состоянию (20.32), которое совпадает с (20.33) при t Ф 0, только в случае, если Е = Е'. Поэтому вторая возможность в (20.29) приводит к противоречию, так что выбор величины с, использованный в (20.24) и (20.27), приводит к первой
280
Глава 20
возможности в (20.29). Отсюда следует линейность и унитарность операторов Or.
Таким путем мы приходим к важному результату, что два физически эквивалентных описания— после соответствующего изменения свободных констант, волновых функций — могут быть преобразованы одно в другое путем канонического преобразования. Следует, однако, заметить, что для исключения второй возможности, соответствующей „антиунитарной“ функции (20.31), необходимо рассматривать также временною зависимость волновых функций. Точнее, было постулировано, что если состояние Ф по прошествии промежутка времени t превращается в состояние Ф', то состояние Ф в течение того же промежутка времени превращается в состояние Ф'. Это предположение является оправданным и действительно необходимым для настоящего обсуждения, но оно окажется непригодным при рассмотрении операции „отражения времени" в гл. 26.
