Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
1 2
спин в направлении + Z' дается выражением cos-^-p , а вероятность найти спин в направлении — Z'— выражением ski-^-{3
Если вероятность определенного направления спина равна 1, то для направления, составляющего с ним угол р, вероят-1 2
ность равна cos-^ (3 . При {3 = 0 эта вероятность равна 1, как
это и должно быть при совпадении двух направлений; при {3 = тг/2, когда направления взаимно перпендикулярны, она равна V2'. при (3 = тг, когда два направления противоположны, эта вероятность равна 0.
Рассмотрим теперь вопрос о том, при каких условиях существует направление, в котором спин с достоверностью не лежит. Пусть этим направлением будет, скажем, направление Z', так что волновая функция 0{арт}Ф в системе координат, в которой ось Z совпадает с направлением Z', имеет вид
°{арт>Ф S) = 8i, У' *)•
Сама волновая функция Ф (ради краткости будем писать
/?={а, {3, f}) имеет вид
Ф(х, у, z, s) = 0^-i0^® = Од-iS^ _!<р(х, у, г) =
= $/1/i)(/r\S)_v,Р*-1<р(*. У. Z).
Следовательно, такое направление будет существовать только в том случае, если Ф(л:, у, z, —1) и Ф(л:, у, z, 1) различаются лишь постоянным множителем, не зависящим от х, у, г:
Ф(х,у,г,—\) (/?)_,, , 1
------------- =——!n.r./« — e-factg- й. (20.Е.4)
Ф(х,у,г,\) ®(А)(Л)у.,-,А 2
Абсолютная величина и комплексная фаза этого множителя
остаются, как показывает (20.Е.4), совершенно произвольными.
То, что Ф(х, у, z, —1) и Ф(л:, у, z, 1) отличаются лишь множителем, показывает, что при одновременном измерении Z-компо-ненты спина и произвольной, не зависящей от спина величины вероятность для последней, в соответствии с п. 3, статистически независима от направления спина. В этом случае всегда существует направление — его азимут а и полярный угол {3 даются соотношением (20.А.4) — вдоль которого спин с достоверностью не лежит; в противном случае такого направления не существует.
274
Глава 20
9. Следует еще рбратить внимание на то обстоятельство, что далеко идущие конкретные утверждения о поведении электрона со спином могут быть получены на основе одних лишь требований инвариантности и общих принципов квантовой механики, а также нёкоторых весьма качественных постулатов. Только что полученные два результата, особенно результат, касающийся соотношений между вероятностями различных направлений спина, доступны (по крайней мере в принципе) экспериментальной проверке.
Определение оператора Од было дано в предположении, что различные системы координат физически эквивалентны. Внешние поля, нарушающие изотропность пространства, могут также приводить к видоизменению операторов Од- Разумеется, пока внешнее поле слабо, операторы, осуществляющие переход к повернутым осям, будут по-прежнему приближенно даваться выражением (20.19). Однако в дальнейшем (20.19) будет считаться справедливым и при сильных полях.
Наконец, обратим внимание на одно весьма существенное обстоятельство в выводе (20.19), которое могло быть заслонено математическим формализмом. Это обстоятельство состоит в том, что эквивалентность двух систем координат также влечет за собой эквивалентность операторов О*. осуществляющих преобразование к сходным образом повернутым системам координат.
Операторы Од линейны и унитарны, но они не представляют точечного преобразования, как Рд. По этой причине к ним не применимо соотношение (11.22). Это значит, что
ОдФ'Р ф ОдФ • Од'Р.
Кроме того, следует заметить, что вращение R соответствует не одному, а двум операторам, Од и — Од. так как матрица ?>(,/г)({а, р, 7}), входящая в (20.19), определяется вращением лишь с точностью до знака. К тому же равенство 0Sr = OsOr не имеет места; выполняется лишь соотношение
Osr = ± OsOr- (20.16а)
Нет никакой возможности произвольно опустить один из этих операторов +0^ или —Од таким путем, чтобы (20.16а) оставалось справедливым для оставшихся операторов с одним лишь верхним знаком.
10. Проекция спина на ось Z является такой же „физической величиной", как и пространственные координаты или момент количества движения. Тогда, согласно физической интерпретации квантовой механики, она должна соответствовать линейному эрмитовому оператору; этот оператор будем обозначать через Sz = (Й/2) s*. Собственными значениями оператора sz, соответствующими возможным значениям —fi/2 и + fi/2 Z-kom-поненты спина, являются —1 и +1. Собственными функциями, принадлежащими первому собственному значению, являются все функции
Спин электрона
275
(х, у, г, s) = bs' _!ф(х, у, г)\ они отличны от нуля только при s= —1. Второму собственному значению принадлежат все функции Ч?" + (х, у, г, s) = = \Y (•*• У> г)> отличные от нуля только при s =+1. Таким образом
s A, -14< (•*. У> г) = — 6i. -1 Ф (х, у, г),
