Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Глава 21
КВАНТОВОЕ ЧИСЛО ПОЛНОГО МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
1. В формуле преобразования предыдущей главы [см. (20.19)], которая записывается в виде
0*Ф(*. У, z, s)= 2 s/2^(/?)i i Р*Ф(*. у, z, t) = t=± 1 2S’2l
= 2 ®^(/?)i i Ф (x",y",2?',t), (21.1)
/ = ±1 2 s' 2 ‘
R означает чистое вращение. Если мы хотим записать волновую функцию в системе координат, полученной из первоначальной путем несобственного вращения, сначала можно произвести инверсию
х' = —х, у' = — у, z'= — z, (21.2) j
а затем — вращение. Таким образом, остается лишь вопрос о том, как волновая функция О/Ф состояния Ф представляется наблюдателю, связанному с системой координат, оси которой направлены противоположно осям первоначальной системы.
Рассмотрим прежде всего состояние usty(x, у, z). В „бесспи-новых“ опытах оно ведет себя для первого наблюдателя так, как если бы его волновая функция была ф, и поэтому для наблюдателя в отраженной системе координат — так, как если бы его волновая функция была Р/ф, где
Р/ф (х, у, z) = ф (— х, — у, — z). (21.2)
Следовательно, Otusty (х, у, z) = u's • Р^ (х, у, z). Магнитный момент в состоянии usty(x, у, z) имеет заданное направление. При инверсии координат это направление переходит в противоположное, так как магнитный момент является аксиальным вектором. Но противоположное направление обозначено в новой системе координат точно так же, как и первоначальное направление в старой системе. Для второго наблюдателя направление спина такое же, как и для первого, и множитель и' функции Р7ф в Оtu^(x, у, г) равен us.
282
Глава 21
Мы знаем, что магнитный диполь может быть всегда заменен круговым током. Если этот круговой ток лежит, скажем, в плоскости XY~и направлен от X к Y, то он также лежит в плоскости X'Y' и направлен от X' к Y'.
Следовательно, для всех us и всех ф (х, у, z) имеем
Оius*t (х, у, z) = UsPfit (х, у, z) = Pius$t (х, у, z), (21.3)
с точностью постоянного множителя, который может еще зависеть от а и if, Но можно показать, точно так же, как это было сделано после соотношений (20.8а), что эта постоянная должна иметь одну и ту же величину для всех и и всех ф, если мы требуем линейности операторов Ол Поскольку О/ уже содержит совершенно произвольный множитель, эта постоянная может быть полностью опущена. Далее, так как всякую функцию Ф (х, у, z, s) можно записать в виде линейной комбинации функций вида usty(x, у, z), то из (21.3) и свойства линейности операторов О/ и Р/ следует, что 0/ = Рл
0/Ф(*. у, z, s) = Р/Ф(*, у, z, s) = Ф(—х, —у, —z, s). (21.4)
Оператор О/, осуществляющий инверсию (21.2) системы координат, вовсе не действует на спиновые координаты; он задается соотношением (21.4). Мы имеем 0/=1 или 0/0/® = ®; таким образом, тождественный оператор и оператор О/ образуют группу, изоморфную группе отражений.
В соотношениях (21.1) и (21.4) мы имеем формулы преобразования волновых функций при произвольном изменении осей. Кроме того, эти соотношения справедливы не только для электронов, но и для протонов. Однако магнитный момент протона гораздо меньше, чем магнитный момент электрона (масса протона примерно в 1840 раз больше), и поэтому не так легко доступен наблюдению, как магнитный момент, связанный со спином электрона. В дальнейшем изложении мы не будем учитывать спин ядра.
Соотношения (21.1) и (21.4) остаются также справедливыми без существенных изменений в релятивистской теории электрона Дирака1)' Согласно последней, волновая функция состоит не из двух функций координат Ф(*, у, z, —1) и Ф(*, у, z, 1), а из четырех. Наряду с s, можно ввести пятую координату s', которая также может принимать два значения. Тогда для чистых вращений соотношение (21.1) остается без изменений: s' вообще не участвует в этом преобразовании; с другой стороны, при инверсиях два значения s' меняются местами.
2. Соотношения (21.1) и (21.4) относятся к системе, содержащей только один электрон. В случае нескольких электронов
‘) J. A. Gaunt, Proc. Roy. Soc., А124, 163 (1929).
Квантовое число полного момента количества движения
283
волновая функция ®(*lt ylt zu sv ..., xn, y„, zn, sn) содержит спиновые координаты всех частиц, как и их декартовы координаты. Скалярное произведение двух функций Фи О равно
В простой теории без спина оператор P# действовал на все тройки координат, притом на все одинаковым образом. Аналогичным образом, оператор Or, который в теории Паули осуществляет преобразование к другой системе осей, действует теперь на все координаты xk, yk, zk и sk точно так же, как он действует на х, у, z и s в (21.1) и (21.4). Таким образом, имеем
Оператор Оя является произведением операторов Рд и Q#, первый из которых действует только на декартовы координаты:
Здесь x'k, y'k, z'k получаются из xk, yk, zk путем вращения R. Второй оператор действует только на спиновые координаты:
