Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
требования, чтобы точечное преобразование сохраняло объем. В соответствии
с этим предполагается, что устойчивость относится как к будущему, так и к
прошлому.
Пример, приведенный в § 135, был дан в слегка другой форме в статье
Пенлеве (P. Painleve, Comptes Rendus 138 (1904), 1555-1557), а пример,
приведенный в § 136, имеется в статье Шерри (Т. М. Cherry, Trans. Cambr.
Phil. Soc. 23 (1925), 199-200).
По поводу примечания к § 134 см. Н. Bruns, Berl. Sitzber, 1890, 543- 545
и (что касается Ф. Миндинга) P. Stack el, Jahresber. d. D. М. V. 14
(1905), 504-506.
Линейные канонические преобразования, указанные Уинтнером (Ann. di Mat.
(4) 13 (1934), 105-112), можно также определить как вещественную
подгруппу "комплексной" (или "симплектической") группы. Алгебраические
проблемы, связанные с вопросами, возникающими в линейной динамике (см. §
153а, § 154а), были полностью решены Вильямсоном (J. Williamson, Amer.
Journ. of Math. 58 (1936), 141-163; 59 (1937), 599-617; 61 (1939), 897-
911 [см. также 62 (1940), 881-911]). К сожалению, в эту книгу невозможно
было включить его алгебраические результаты.
ГЛАВА III
§§ 155-158. Исторически исследования в динамике концентрировались вокруг
задач с функциями Лагранжа и Гамильтона в виде квадратичных форм (1) и
(7) не только в силу физических соображений (см. G. D. Birk-hoff,
Dynamical Systems (1927), 14-32), но также благодаря возможности
использования римановой n-мерной дифференциальной геометрии (см. §§ 178-
179). Вначале рассматривали, как правило, лишь обратимые системы. Однако,
как было замечено Леви-Чивита (Torino Atti 31 (1895), 816- 823), если L
имеет вид Т + U, но содержит явно время t, то L можно заменить
консервативной функцией необратимого типа (1) при условии, что t вводится
как (ге+1)-я координата (см. § 9а, § 93); соответствующий импульс
оказывается циклической координатой в указанном в §§ 182-183 смысле
(классический переход от (li) - (13) § 441 к (3i) - (З3) § 442 можно
рассматривать как элемент этой процедуры). См. также Е. С а г t а п,
Lecons sur les invariants integraux (1922), passim; G. D. Birkhoff, Dyna-
mikal Systems, 89-96.
§§ 159-162. Что касается (14), то см. Jacobi (1845), Werke 4, 478-488; A.
Win tner, Quart. Journ. Math. (Oxford) 7 (1936), 214-218.
Наиболее ранний вариант перехода от (152) к (153) следует из разделов 2 и
9 1-й книги "Начал" Ньютона. Интеграл (16) является некоторым обобщением
интеграла, данного Якоби, который заметил, что соотношение (19i),
найденное Лагранжем для р = -2, остается справедливым при любом р (см.
комментарий к § 321). Факт, упоминаемый во втором примечании к § 159,
указал Герглотц (G. Herglotz, Seeliger - Festschrift (1924), 197-199; см.
Р. В о h 1, Ztschr. fur Math. 35 (1890), 188-191). Боль, а затем Герглотц
получили результат, указанный в § 160а, с помощью непосредственного
интегрирования, не опираясь на произвольный выбор коэффициента
размерности. Что касается §§ 160-161, то см. A. Win tner, Amer. Journ. of
Math. 60 (1938), 473-476.'
ИСТОРИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ 50f
§§ 163-164. См. L. P. Ei sen hart, Ann. of Math. (2) 30 (1929), 591-606.
§§ 165-170. Множество скорости встречается в видоизмененной форме в
критерии Миндпнга (1838) для устойчивости точки равновесия (см.
примечание к § 134) и было введено явно Хиллом (1878) при рассмотрении
своего случая ограниченной задачи трех тел (см. комментарий к §§ 462-476
и §§ 489-502). В соответствии с этим общее правило, указанное в § 170
(см. A. Wintner, Amer. Journ. of Math. 60 (1938), 471-472) принимает
стандартную форму в евклидовом случае, рассмотренном в § 238.
§§ 171-181. Что касается возникновения принципа наименьшего действия, см.
комментарии Журдена (Р. Е. В. Jourdain, No. 167 (1908), Ostwald's Klass),
где дана подробная библиография. Вначале рассматривался только обратимый
случай в римановом пространстве (§§ 178-179). Например, см. статью
Миндинга (1864), перепечатанную в Math. Annalen 55 (1902), 119-135,
предшествующую соответствующим соображениям Белирами и Липшица. По
существу переход к общему случаю, рассмотренному в § 171. может быть
выполнен непосредственно (см. Poincare, Meth. Nouv. 3 (1899), 266;
Birkhoff, Trans. Amer. Math. Soc. 18 (1917), 203). Полезное формальное
замечание, приведенное в § 180, не является как будто общеизвестным, хотя
оно и было использовано Леви-Чивита в его теории канонической
регуляризации (см. библиографию к §§ 398-399, 415-420, 446-454); см.
также G. D а г Ь о и х, Comptes Rendus 108 (1889), 449-450; P. Painleve,
Journ. de Math. (4) 10 (1894), 35-36. Правило, указанное в § 181, которое
играет фундаментальную роль в теории преобразований поверхностей (см. Н.
Poincare, Meth. Nouv. 2 (1893), 370; Т. Levi-Civita. Ann. di Mat. (3) 5
(1901), 274-278; G. D. Birkhoff, Dynamikal Systems (1927), 159-162, 210)
и использовалось, например, Брунсом (Acta Math. 11 (1887), 71-73), было
получено еще Якоби и встречается, возможно, также в работах Гамильтона.
