Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
с двумя почти периодическими (и периодическими, если X - Х(т)
рациональное) решениями, которые выражаются формулами (39). Наконец,
применяя к семейству (3) правило, указанное в § 149, найдем, во всяком
случае при значениях тп, не принадлежащих к совокупности изолированных
значений, четвертое решение уравнений (38). Это четвертое решение
содержит согласно изложенному в § 149 вековой член. Поэтому, как легко
заключить на основании формул, приведенных в §§ 235-237а, три линейно
независимых решения уравнений (38), соответствующие изоэнергетическим
смещениям, суть решения (39) и тривиальное решение (|, ц) = const(;r'(Z),
y'(t)).
Ниже мы будем рассматривать только нетривиальные изоэнер-гетические
смещения (39). Будем предполагать, что постоянные интегрирования б, е,
выписанные в этих формулах, имеют фиксированные значения, причем е ф 0.
§ 521. Прежде всего из классической теоремы о непрерывности для системы
обыкновенных линейных дифференциальных уравнений сразу вытекает, что
функции (39а) непрерывны по т.
Так как X = Х(т) зависит от т, то почти периодические функции (39)
становятся периодическими для плотного, но счетного множества значений т.
Период при таких т тем больше, чем выше порядок соизмеримости Х{тп) : 1.
Что касается коэффициентов ал(пг), р^(т7г), то можно показать, что при
больших | к | и фиксированных малых | тп | они ведут
492 ГЛАВА VI. ВВЕДЕНИЕ В ОГРАНИЧЕННУЮ ЗАДАЧУ
себя примерно так же, как и величины аь{т) (см. § 516). В частности,
предельные значения а*0 = lim а* (яг), pft° = = limPfc(/ra) при пг -*¦ 0
равны нулю, если только 12/с -}- 11 Ф Вместе с тем, если 12к + 1 ] = 1,
т- е. рассматриваются в (39) члены с индексами /с - 0, к = -1, то
вычисления показывают, что
ао=т^ 0, Ро=ао, cli = -За?, p°i = 3pS, (40)
хотя ctoft = 0, p0ft = 0, если 2к + 1 Ф ±1.
Заметим, что можно проверить (40) путем сравнения с формулами для
кеплерового кругового движения (см. § 517).
§ 5222. Полагая и = t / т и • лг 0 в (39) - (39а), а также опуская
множитель еф 0 (точнее говоря, 2еа0°фО), найдем с помощью (40) после
простой редукции, что если к0 обозначает предельное значение (Х)т=о
характеристического показателя к = = к(т), то
(Е) m=o = - cos и cos (к°и + б) - 2 sin и sin (к°и + б),
(т]) 7п=о - sin и cos (^ и ] б) ] 2 cos и sin (^ц | б).
Следовательно,
(?2 + т)2)тп=о = cos2(X°u б) + 4sin2(X°u + б),
так что непрерывная функция (?2 + "П2)т=о аргумента и оказывается
положительной, периодической и имеющей при - оо < t < -f-oo положительный
нижний предел. Таким образом, из соображений непрерывности видно, что
если \т\ достаточно мало, то для почти периодических (и периодических,
если к = к(т) -рациональное число) функций (39) имеем ?2 + т)2 > > С > 0
при -оо <; t < +°°, причем значение постоянной С за висит от постоянных
интегрирования б, е (=?^= 0) и т.
Следовательно, если | т | достаточно мало, то теорема, упомянутая в §
484, применима к почти периодической функции ?(f) -f-iT](f), определенной
в соответствии с (39). Это означает, что угловая переменная со = во (?),
определяемая формулами
I = (I2 + Т)2) ъ cos ?0, п = (?2 + Л2),/з sin ?0,
допускает разбиение ?о(?) = р? + х(2) на вековой член pi и почти
периодический остаточный член %{t), причем среднее движете р = р(лг) и
частоты функции х(0 содержатся в полном спектре частот функций (39).
§ 523. В частности, среднее движение р = р (пг) зависит при фиксированном
т от характеристического показателя к = к(т)
§§ 516-520. ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛУНЫ
493
и от целых чисел I, с помощью которых р. представимо в виде
jk(m) + I
р =-------------•
тп
Хилл определял целые числа /, I, полагая тп -*- 0, что позволило свести
определение главного члена р в среднем движении перигея Луны к нахождению
характеристического показателя к. Вместе с тем сравнение § 530 и §§ 235-
237а показывает, что Я можно определить с помощью уравнения для
изоэнергетического нормального смещения, т. е. уравнения вида
п" + y.(t)n = 0, где х (г) - заданная периодическая функция t.
§ 524. В ходе изложенного выше анализа Хилл пришел к методу бесконечных
определителей. В то же время Адамс (проделавший несколько раньше Леверье
работу, связанную с открытием Нептуна) также использовал этот метод
(раньше Хилла) при рассмотрении уравнения (8) § 481, служащего для
определения наклонности.
Этот классический метод бесконечных определителей был математически
обоснован в работах Пуанкаре и излагается в большинстве учебников
применительно к линейным дифференциальным уравнениям в комплексной
области. Возможно, будет достаточно, если мы скажем, что этот метод
приводит к удобному способу фактического вычисления характеристических
показателей и соответствующих решений вида (10i) § 144. Между тем
соображения, приводившиеся в §§ 140-144, гарантировали лишь существование
характеристических показателей и соответствующих решений, но не указывали
на подходящий метод их вычисления.
Заметим, что хотя мы имеем дело также с бесконечным числом переменных, но
