Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
затронутым в конце § 233, см. попытку Висториса (L. Viet oris, Math.
Ztschr. 19 (1924), 130-135) относительно периодических решений
ограниченной задачи трех тел (эти решения не являются алгебраическими
функциями t).
§§ 234-235. G.W. Hell (1877), Works 1, 244-246; Н. Poincare, Meth. Nouv.
3 (1899), 280-282. См. также комментарий к §§ 228-232а.
§§ 236-237а. См. Win tner, Sachs. Sitzher. 82 (1930), 345-354, где
показано, что уравнения Якоби, выписанные Пуанкаре (Meth. Nouv. 3, 282-
283) как для обратимого, так и для необратимого случаев в последнем
случае неверны. Другой подход, основанный на применении конформного
отображения, был указан Биркгофом (см. выше). См. также G. Н. Da г-win,
ibid., 27-34. Что касается § 237а, то см. A. Win tner, Amer. Journ. of
Math. 53 (1931), 621-622.
§§ 238-240. E. Stromgren, Astr. Nachr. 174 ("1906), 33-46, cm. G. H.
Darwin, ibid., 25-27.
ГЛАВА IV
§ 241. Было бы резонно предположить, что Ньютон вывел (32) как следствие
(2i). Однако целый ряд важных страниц в "Началах" касаются вывода (2Q из
кеплеровых законов для кругового планетного движения (и опираются,
следовательно, на операцию дифференцирования, а не интег-
1
рирования). Первым, кто доказал, что все траектории при U(r) =-^"являются
коническими сечениями, был, по-видимому, Иван Бернулли (Opera 1, 1710,
470). Его вычисления описаны в основном в § 214 и совпадают с теми,
которые можно найти сегодня в элементарных учебниках; см. также-
комментарий к § 259. Метод, изложенный в § 241 и гораздо более простой,
принадлежит Лапласу (1798, Oevres 1, 183). Сейчас он, по-видимому, почти
забыт, хотя был открыт также Якоби (1842, Werke 4, 282),
§ 244. Тот факт, что названия трех типов конических сечений оказываются
соответствующими поверхностям, имеющим в каждой своей регулярной точке
вторую фундаментальную форму с соответствующей сигнатурой (индикатрисой
Дюпена), является чистым совпадением, не имеющим исторического смысла.
Действительно, в те времена дифференциальная геометрия этих поверхностей
еще совсем не затрагивалась в литературе.
ИСТОРИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ 505
§ 245. На геометрический смысл W указал P. G. Т a i t (1865, Papers 1,
68- 70). Что касается его статьи, упомянутой в примечании, то см. Quart,
Journ. of Math. 7 (1866), 45 где имеется ссылка на формулу Гамильтона).
§§ 247-248. В случае параболических орбит (см. (15i) § 249) теорема,
рассматриваемая в этих параграфах, была получена впервые Эйлером (Misc.
Berol. 7 (1743), 16). Общая теорема была открыта Ламбертом (1761) и
опубликована в его монографии Insigniores orbitae cometarum proprietates
(No. 133 (1902) в Ostwald's Klass). Доказательство Ламберта основано на
громоздких геометрических соображениях. Доказательство, найденное позже
Лагранжем (1778, Oevres 3, 559-582), является аналитическим, но не более
коротким. Доказательство, помещенное в § 248, было дано Якоби (1837,
Werke 4, 122); аналогичное, хотя и более длинное доказательство
встречается в работах Гамильтона (См. Phil. Trans, 1834, 280-286).
§§ 249--257. На два варианта, имеющие место для эллиптического случая и
рассмотренные в § 249, указал Кэли (Cayley, 1869, Papers 7, 387 -389).
Представляется затруднительным дать ссылки на литературу относительно
всех результатов, описанных в §§ 250-257. Фактически все эти результаты,
за исключением тех, которые касаются разрывных решений, введенных
Тодхунтером (I. Т о d h u n t e r, Researches in the Calculus of
Variations (1871), Chap. VIII), вытекают из замечания Якоби (Werke, 1837,
4, 47-48) о сопряженных точках. Конечно, точная теория рассмотренных
минимизирующих орбит связана с позднейшим развитием вариационного
исчисления; см., например, Ph. Frank, Monatshefte fur Math. 20 (1909),
171 - 185, 189-192.
§ 259. Этот изящный метод интегрирования принадлежит, по-видимому, Болину
(К. Bohlin, Bull. Astr. 28 (1911), 144). Некоторые варианты относятся,
конечно, к более раннему времени (см. §§ 261, 267). Таким образом, из
соотношений, полученных Ньютоном и в более явном виде Клеро (см.
комментарий к У 211-212), вытекает, что функция 1 / г от t определяется в
случае U = 1 / г линейным дифференциальным уравнением второго порядка с
постоянными коэффициентами.
§§ 261-265. В более или менее явном виде все эти соотношения имеются в
"Началах" Ньютона (Book I, section 3), где, конечно, анализ трех типов
орбит скорее синтетический и не всегда исчерпывает все случаи.
§§ 268-269. Все это восходит к Бурро (С. В u г г a u, Astr. Nachr. 135,
(1894), 164).
§ 271. Траектории, отвечающие силовой функции U - 1 / гг, были
рассмотрены Ньютоном в его "Началах" и позднее дискутировались более
детально Котсом: см. Cailay, 1862, Papers 4, 517.
Если притяжение обратно пропорционально не второй, а произвольной степени
расстояния и аналитическая регуляризация оказывается невозможной, то было
бы желательно исследовать топологическую структуру семейства интегральных
