Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
пренебречь возмущениями, производимыми Солнцем, то значение 2япга
постоянной интегрирования 2ляг, соответствующей движению Луны вокруг
Земли, можно определить как синодический период (месяц) обращения Луны по
ее орбите, которая считается тогда точно круговой. Значение то,
упомянутое в конце § 504, несколько меньше, чем V12, и находится в
соответствии с фактическим эмпирическим значением синодического периода
2л т0.
Выписывая в явном виде оценки §§ 510-512, можно установить, что это
значение то действительно "достаточно мало" с точки зрения теоремы
существования, т. е. что яго(>0) меньше, чем число М-1 в неравенстве
(33). Поскольку доказательство требует лишь непосредственных численных
расчетов, воспроизводить его здесь мы не будем.
§ 518а. Ввиду возможных комплексных особенностей степенных рядов (33) -
(33а) можно ожидать, что область сходимости этих рядов будет расширена
для положительных т, если подвергнуть параметр разложения т
преобразованию, носящему в теории расходящихся рядов имя Эйлера. Это
преобразование т представляет собой линейную подстановку
где и - положительное число, выбираемое подходящим образом. Так как
особые точки (комплексные) рациональной функции fi(m) (см. § 510)
расположены ближе всего кл=0, если j2= 1, то Хилл считал целесообразным
обратить внимание прежде всего па знаменатель 6 - 4те + т2 в формулах
(14) -(17). Поэтому представляется выгодным принять постоянную и в
преобразовании Эйлера равной 7з-
§ 519. Изложенный метод построения в явном виде рядов может быть все же
полезен при анализе периодических решений (3) лишь тогда, когда
постоянная интегрирования |mj достаточно мала. В противном случае следует
прибегать к механическим квадратурам. Тогда оказывается, что если при
достаточно малых | т. | периодические орбиты лежат внутри соответствующей
кривой нулевой скорости, то при стремлении т к положительному
491
ГЛАВА VI. ВВЕДЕНИЕ В ОГРАНИЧЕННУЮ ЗАДАЧУ
числу 0.56096 ... (значительно превышающему 1 : 12) периодическая орбита
достигает своей кривой нулевой скорости. Точка возврата, появляющаяся
(см. § 238) при этом критическом тп, лежит на оси у. Наконец, если
постоянная интегрирования тп проходит, возрастая, упомянутое критическое
значение, соответствующее периодической орбите с точкой возврата, то
точка возврата превращается в небольшую петлю, быстро увеличивающуюся
далее с ростом тп. К сожалению, было невозможно проследить с помощью
механических квадратур поведение периодического семейства (3) до той
достаточно далекой стадии, которая позволяла бы судить об окончательной
судьбе этого семейства.
§ 519а. Можно лишь с уверенностью утверждать, что этому семейству
свойственно то явление, которое Е. Стремгрсн на основе материалов
численного интегрирования эмпирически сформулировал как принцип
естественного исчезновения. Изложение этого общего принципа, строгое
математическое доказательство которого стало в настоящее время доступным,
выходит за рамки этой книги.
§ 520. Рассмотрим решение (3) уравнений
при фиксированном тп (см. § 493). Согласно изложенному в § 234
соответствующие уравнения Якоби имеют вид
где Uxx(t, тп),... - функции, получающиеся при подстановке (3) в
UXJC(x,y),... Таким образом, коэффициенты этих уравнений являются при
фиксированном тп известными периодическими функциями t с периодом 2птп.
Следовательно, линейная система (38) определяет четыре характеристических
показателя st, s2, ss, Si (§ 143), которые можно объединить (см. § 149) в
две пары вида (1,1), (s, 1/s). Разумеется, характеристический показатель
s является функцией s(m) от т. Мы будем предполагать, что при
рассматриваемом фиксированном значении т имеем |s| = 1, но s:ф ±1.
Вычисления показывают, что эти условия удовлетворяются при значениях тп в
промежутке, включающем в себя малое значение тп0 = 0,0808, . . . ,
которое соответствует наблюдаемому движению Луны вокруг Земли.
z"-2y'=Ux(x,y), у" + 2х'=иу(х,у) (37)
I" - 2т]' = Uxx(t"m)I + Uxy(t, тп)т], "П" + 2g' = Uxy(t, m)l + Uyy(t,
ш)т],
} (38)
§ 520a. Сопоставляя факт двойной симметрии (§ 503) периодического решения
(3) с результатами, изложенными в § 144, лег-
§§ 516-529. ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛУНЫ
491
ко увидим, что уравнения (38) обладают двумя линейно независимыми и
соответствующими паре характеристических показателей (s, 1 / s) решениями
вида
+°° ' t
? - е 2 ал cos -j (2/с -J- 1 -J- A,) b 6~l,
1 m j
ь 171
R=- OO
^°° t
t] = e 2 P^sinj (2/c -f 1 -f X)-~ -f б},
h=-oo
(39)
где б, е(т4:0) - произвольные вещественные постоянные интегрирования,
причем вещественные величины
X = Х(т), ак=ак{т), ph = pft(7ra), А = 0, ±1,..., (39а)
определяются в зависимости от т единственным образом. В частности, X =
Х{т) представляет собой характеристический показатель, соответствующий s
= s(m) (см. §§ 143-144).
Так как s =ф ±1, то периодическое решение ? = х', т\ = у' уравнений (38),
получаемое согласно изложенному в § 148, не связано линейной зависимостью
