Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
пг, достаточно малых по абсолютной величине.
Действительно, при условии, что |пг| достаточно мало, справедливы формулы
(33) -(35). Вместе с тем величины = dj (тп) определялись в §§ 506-514
так, чтобы ряды (3) при фиксированном тп удовлетворяли формально
лагранжевым уравнениям
Ь'т2-Жт3 + "-)' (34а)
§ 100):
...). (35)
х"-2 y' = Ux, y" + 2x'=Uy.
Однако оценка (33) для и,- позволяет гарантировать не только
§§ 516-529. ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛУНЫ
/87
сходимость тригонометрических рядов (3) к функциям х = x(t), у =¦ У {t),
но также сходимость рядов, получаемых при почленном дифференцировании
(3), к непрерывным вторым производным х" (t), y"(t).
Действительно, коэффициент Фурье при у-й гармонике для z"(t) или y"(t)
мажорируется согласно (33) числом у'2)-4 = у-2, по в то же время 2у'~2 <;
+ оо. Поскольку ряды (3) удовлетворяют лагранжевым уравнениям формально,
из теоремы единственности для рядов Фурье вытекает, что эти ряды
представляют при фиксированном т решения лагранжевых уравнений.
ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛУНЫ
§ 516. Заметим, что коэффициенты рядов (3) стремятся вместе с 1 / к к
нулю гораздо быстрее, чем это следует из оценки (33), использованной в §
515. Действительно, правые части уравнений движения являются регулярными
аналитическими по х, у (если исключить начало координат х - 0, у = 0),
так что их решения x = x(t), y= y(t) должны быть регулярными
аналитическими по t, если исключить столкновения. Вместе с тем известно
(О. Гольдер), что периодический тригонометрический ряд является рядом
Фурье для периодической регулярной аналитической функции тогда и только
тогда, когда его коэффициенты стремятся к нулю так же быстро, как и члены
сходящейся геометрической прогрессии. Следовательно, коэффициенты а&(т) в
рядах (3) должны удовлетворять неравенству |аь(пг) | < где число q - q(m)
меньше 1 и не зависит от к.
Однако оказывается справедливым и более сильный результат. Действительно,
вычисляя степенные ряды (33) на основании (31), т. е. (27) и (26) с
помощью рекуррентной формулы (24а), мы можем установить с учетом (14) -
(17) по методу индукции, что отношения ay / ао имеют в точке тп - 0 нуль
порядка 2/ (этот факт уже вытекает из приближенных выражений (33а),
полученных именно таким путем). Однако, как известно, из принципа
максимума для регулярной аналитической функции вытекает лемма (X. А.
Шварц), согласно которой степенной ряд вида
/(z) - a"zn + Ojh jz^1 + ...,
где п ^ 1, сходится, а его сумма в круге |z| < р меньше по абсолютной
величине постоянной ц лишь при условии, что
488
ГЛАВА VI. ВВЕДЕНИЕ В ОГРАНИЧЕННУЮ ЗАДАЧУ
в этом круге. Поэтому из (33) следует, что для каждого положительного
числа К, меньшего чем Л/-1, существует положительное число L такое, что
7 = ± 1, ±2,-----
1 а0(т) |
при | т | < К. Это неравенство дает явное выражение для q = - q(m) < 1.
§ 517. Теперь легко найти динамическое значение периодического семейства
(4) при малых значениях постоянной интегрирования т(ЗсО). Действительно,
пренебрегая коэффициентами <Zj = = aj(m), /= ±1, ±2, ..., имеющими более
высокий порядок' относительно тп, чем ао = а0(т), получим
t t >
х = д0 (те) cos -, у = а0 (т) sin--, (36)
т т
где
<ю(т) - т2/з - . .., С(т) - + . ..
согласно (34а), (35). Эти приближенные формулы определяют синодическую
траекторию х - x(t), у = y(t) Луны, отвечающую равномерному движению по
кругу с радиусом ао и центром в начале координат (х, у) - (0, 0), где
находится Земля. Период 2лт. этого движения считается положительным при
прямом синодическом движении и отрицательным при обратном. Формулы (36)
получены в предположении, что постоянная интегрирования т, а вместе с тем
и приближенный "радиус" ао =¦ т'1г - ... очень малы. Но тогда влияние
Солнца пренебрежимо мало, и мы приходим практически к схеме задачи двух
тел Земля - Луна, рассмотренной в § 300 при использовании синодической
системы координат. В круговом случае применимы результаты § 307. Параметр
т, если его определить согласно (13) - (14f) §§ 306-307, равен отношению
синодического периода к 2л. В то же время формулы (142) - (14з) § 307
показывают, что радиус а0 и постоянная Якоби С равны -. .. и т~*!з + •
¦ ¦ соответственно. По-
скольку это согласуется с (36), можно сделать вывод, что если jm| очень
мало, то параметр т. периодического семейства (3) можно отождествить с
(14) § 307.
В соответствии со сказанным можно дать следующую интерпретацию
периодического семейства (3).
Если бы Солнце не возмущало систему Земля - Луна, то семейство (3)
совпадало бы с семейством круговых траекторий, рассмотренных в § 307.
Полученные в §§ 503-516 результаты свидетельствуют о том, что Солнце
возмущает систему Земля -
g§ 516-529. ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛУНЫ
489
Луна таким образом, что во всяком случае при достаточно малых \т\
семейство периодических движений сохраняется, и оно совпадает при очень
малых | т | именно с тем, которое описывается приближенно формулами (36).
§ 518. В частности, формулы (13) - (14i) §§ 306-307 показывают, что если
