Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
то других состояний нет.
Для получения СРГ-инвариантной теории необходимо добавить состояния с
противоположными спиральностями, т. е. -к и -А,+ 1/2 (операция СРТ
обращает знак спиральности). Например, если к - 1/2, то на массовой
поверхности имеем состояния со спиральностями 0 и 1/2, а также их СРГ-
сопряжен-ные состояния со спиральностями - 1/2, 0, что дает теорию,
состоящую из двух бесспиновых и одной майорановской час-
(8.14)
Так как выполняется равенство
QlQll Я)== О,
(8.15)
!) Поскольку имеется только N значений спиральности, состояние со
значением, отличным от данных, нулевое.
50
ГЛАВА 8
тицы со спином 1/2. Если же к -2, то на массовой поверхности получаем
состояния со спиральностями 3/2 и 2 и их СРТ-сопряженные состояния со
спиральностями -3/2 и -2. Это дает теорию, содержащую одну частицу спина
2 и одну частицу спина 3/2. Указанные теории соответствуют модели Весса -
Зумино и (N = 1) -супергравитации. Ниже при детальном обсуждении
представлений суперсимметрии будет дано полное описание этих теорий.
Для У = 4 и Х = 1 получаем безмассовые состояния
11 >, I*) • 10. 1'71 >. I - Т ' [iik]) ' 1 ~1 ' {im >• (8-16)
Имеем СРГ-самосопряженную теорию, содержащую частицу со спином 1, четыре
частицы со спином 1/2 и шесть бесспиновых частиц.
В табл. 8.1 приведена мультиплетность безмассовых неприводимых
представлений, имеющих максимальную спираль-ность 1 или меньше. Мы видим,
что с ростом N число состояний с данным спином (мультиплетность) и число
различных
Таблица 8.1. Мультиплетности безмассовых неприводимых представлений с
максимальной спиральностью 1 или меньше
N Спии 1 1 2 2 4
1 1 1 1
1/2 1 1 2 2 4
0 2 - 2 4 6
спинов увеличиваются. Простейшим теориям отвечает N = I. Первая из них,
приведенная в первом столбце таблицы, - модель Весса - Зумино; во втором
столбце представлена (N - 1)-суперсимметричная теория Янга - Миллса. Эта
последняя содержит две частицы со спинами 1 и 1/2 в соответствии с
формулой для наименьшей спиральности к- (N/2), которая в данном случае
дает 1 - 1/2 = 1/2. Мультиплет с N = 4 является СРГ-самосопряженным, так
как в этом случае имеем X -
- (М/2)=1-4/2 = -1. Таблица заканчивается значением N - 4, поскольку для
N > 4 теория должна содержать частицы со спином больше 1 (очевидно, М> 4
означает, что к -
- (N/2)= 1-(М/2) <-1). Все это ведет к хорошо известному утверждению, что
(N - 4)-суперсимметричная теория представляет собой максимально
расширенную теорию Янга - Миллса.
НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ СУПЕРСИММЕТРИИ 51
Содержание безмассовых представлений (на массовой поверхности) с
максимальной спиральностью 2 приведено в табл. 8.2.
(iV = 1)-супергравитация содержит только гравитон, спин которого равен 2,
и гравитино со спином 3/2. Ее часто называют простой теорией
супергравитации. Для (N = 8)-супергравитации имеем к- (iV/2) = 2 - 8/2 =
-2. Следовательно, это СРТ-самосопряженная теория, содержащая частицы со
всеми спинами
Таблица 8.2. Мультиплетность безмассовых представлений на массовой
поверхности с максимальной спиральностью 2
N Спин 1 2 3 4 5 6 7 8
2 1 1 1 1 1 1 1 1
3/2 1 2 3 4 5 6 8 8
1 1 3 6 10 16 28 28
1/2 1 4 11 26 56 56
0 2 5 30 70 70
от 2 до 0. Очевидно, что в теориях, для которых N > 8, появляются частицы
со спином больше 2. Таким образом, теория с N = 8 является максимально
расширенной теорией супергравитации.
Утверждается, что эта теория действительно является наибольшей возможной
(по числу N) теорией супергравитации. Подобное утверждение покоится на
широко распространенном мнении, что построить непротиворечивую теорию
взаимодействия частиц спина 5/2 с другими частицами невозможно.
Рассмотрим теперь массивное неприводимое представление суперсимметрии. В
качестве фиксированного импульса в системе покоя выберем
q*s = (m, 0, 0, 0). (8.17)
Соответствующая малая группа порождается генераторами
Pm, Qai, Г, Z/7, Z217, Jm = -^emnrJnr, (8.18)
где т, п, г = 1, 2, 3. Генераторы ]т порождают группу
SU(2).
Предположим сначала, что центральные заряды нулевые.
Суперзаряды, действующие на состояния покоя, удовлетворяют алгебре
{QM, (QB/y} = 26V'/m, {QM, QBI} = 0. (8.19)
52 ГЛАВА 8
Генераторы Тг соответствуют группе U(N), а генераторы SU (2) -вращений
удовлетворяют соотношениям
[lm, h] = ZmnrJr, [(Л 1 т] = I (O' J'bQ(r)', (8.20)
где (отп)-матрицы Паули. Заметим, что в группе SU (2) нет различия между
спинором (2Л' и спинором СД<.
Мы видим, что в отличие от безмассового случая ни один из суперзарядов не
обращается в нуль тождественно, так что клиффордова алгебра, которую они
образуют, содержит AN элементов, т. е. вдвое больше, чем в безмассовом
случае. Единственное неприводимое представление алгебры Клиффорда
находится обычным образом. Рассмотрим клиффордов вакуум | q^s},
определяемый условием
Qa I ^s) - 0, V = A,i. (8.21)
Тогда представление алгебры задано на состояниях
1Л>, (Qa'TI^s), (QaT (Qb'Y I (ps) (8.22)
Вследствие антикоммутационных свойств генераторов (Qa1)* этот ряд
