Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уэст П. -> "Введение в суперсимметрию и супергравитацию" -> 25

Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.

Уэст П. Введение в суперсимметрию и супергравитацию — М.: Мир, 1989. — 329 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievsupermmermarket1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 110 >> Следующая

величин с метрическим тензором Минковского
Аналогичный анализ можно выполнить для группы суперсимметрии; он известен
под названием тензорного исчисления. Для теорий с глобальной
суперсимметрией тензорное исчисление было разработано Вессом и Зумино
[20]. Правила тензорного исчисления эквивалентны правилам вычислений в
суперпространстве, описанным в гл. 14. Хотя формулировка в формализме
суперпространства более изящна и определенно более полезна на квантовом
уровне, именно тензорное исчисление особенно выгодно для построения
классического действия и, в частности, взаимодействия супергравитации с
материей. Пр ичина заключается в том, что в процессе тензорного
исчисления поля группируются в наборы (супермультиплеты), имеющие хорошо
определенные правила преобразований суперсимметрии. Поэтому результат
любой операции с супермультиплетами легко представить в виде выражений,
содержащих компонентные поля.
11.1. Супермультиплеты
Основной компонентный супермультиплет, называемый общим скалярным
мультиплетом, есть набор полей
С = (С, ?", Я, К, Ац, la, D). (11.1)
Этот супермультиплет определен так, что имеет следующие преобразования
суперсимметрии и киральные преобразования с па-
70
ГЛАВА И
раметрами е и а соответственно:
6 С = 1ву?, (11.2a)
6? = (А - iy-adC + Я + iy-aK) в - аiy?, (11.26)
6 Я = ёА + ё<3? + 2а/С, (11.2b)
6/С = 1ву5Х + 1ву5д1, - 2а Я, (11.2r)
6Аа = вуа1 -f ёда?, (11-2Д)
ЬХ - -g- ocdfcd + iy$D) в -(- iay^X, (1l-2e)
6 D = iBy5dk, (11.2ж)
где участвует также напряженность векторного поля А^\
fed == dcAd ddAc.
Эти преобразования можно получить следующим образом. Начнем с
псевдоскаляра С, инвариантного относительно кираль-ных преобразований, и
запишем общую форму вариации б С (11.2а). Затем запишем наиболее общую
форму вариации 6?, не противоречащую условию Майорана, а именно
= (Я + ^Ys/C + А + iy^y^U р, + сг^цу) Му5^, (П.З)
и потребуем, чтобы преобразования (61,62)С удовлетворяли алгебре
суперсимметрии. В результате найдем, что U^ = дцС, ty.v = 0 и ?'= ?.
Таким образом, получаем (11.26) как наиболее общее выражение для вариации
б?, не противоречащее алгебре. Далее проведем аналогичные преобразования
для вариаций 6Я, 6/С и бЛд и потребуем, чтобы вариации ? удовлетворяли
алгебре суперсимметрии, и так далее до тех пор, пока не получим законы
преобразования для всего мультиплета (11.2).
Такой же метод можно применить для того, чтобы поля, составляющие
мультиплет, удовлетворяли более сложной алгебре супергравитации.
В действительности общий скалярный мультиплет представляет собой
"приводимое" представление суперсимметрии. Необходимо пояснить слово
"приводимое". Как мы видели в гл. 8, неприводимое представление
суперсимметрии содержит компонентные поля на массовой поверхности,
следовательно, нет необходимости строить действия. Под "неприводимым" в
данном контексте, а часто и при обсуждении суперпространства мы понимаем
мультиплет, множество полей которого не содержит ни одного подмножества
со следующими свойствами:
а) его поля преобразуются друг через друга при преобразованиях
суперсимметрии;
ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ГЛОБАЛЬНОЙ СУПЕРСИММЕТРИИ 71
б) ни одно из этих полей не удовлетворяет уравнениям движения (т. е. они
не лежат на массовой поверхности), хотя некоторые из них могут
удовлетворять другим дифференциальным уравнениям. Для того чтобы отметить
необычное употребление слова "неприводимый" (или "приводимый"), мы будем
помещать его в кавычки.
Один "неприводимый" суперсимметричный подмультиплет, набор полей которого
есть подмножество полного набора, называют мультиплетом спиральностей,
причем его поля таковы:
k = {ka,fcd,D). (11.4)
Антисимметричный тензор fcd, входящий в супермультиплет, удовлетворяет
условию
eabcddbfcd = 0 (11.5)
и имеет вид
fed = dcAd - ddAc. (11.6)
Этот супермультиплет использован для построения суперсим-метричной теории
Янга-Миллса с N = 1 в гл. 6. Мы можем также записать его в виде
Y = (ila,D), (11.7)
где поле Ад удовлетворяет калибровочному преобразованию
Л^Л^ + дцА- О1-8)
Другой суперсимметричный подмультиплет мультиплета С называют киральным
мультиплетом. Его можно получить, положив супермультиплет к равным нулю.
Это значит, что
\ - d^v = D = 0.
В результате получаем супермультиплет S вида
5 = (о, С, ?, Я, К), (11.9а)
который можно записать как скалярный мультиплет, т. е.
5= (С, С, М, N, <V>, 0, 0). (11.96)
Очевидно, что это тот самый мультиплет, который использовался при
построении лагранжиана модели Весса - Зумино в гл. 5.
Другой киральный подмультиплет, который имеет отличный от предыдущего
киральный вес, есть набор полей
Н = (Я, К, k + St, даАа, D + д2С). (11.10)
Первые компоненты А + iB кирального мультиплета образуют комплексное
поле, поэтому он, вообще говоря, может иметь
72 ГЛАВА И
произвольный киральный вес п. Соответствующие киральные преобразования
мультиплета с компонентами
А = (Л, В, Ха, F, G) (11.11)
имеют вид
бс А = а пВ, б СВ = - ап А, 6с% = а(п- 1) i\5%,
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed