Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
обрывается после члена, содержащего 2N генераторов Q*.
Структура приведенного выше представления не очень ясна, так как не
очевидно, как много частиц данного спина оно содержит.
Значительно проще получить свойства алгебры Клиффорда, определив эрмитовы
генераторы
rL-i = -^(QAl+(QAiy), Vi2A = -^{QAi ~{QMT), (8.23)
где
ГР' = (ГЛ Т2\ Г3', ГД (8.24)
Для алгебры Клиффорда антикоммутационные соотношения
(8.19) принимают вид
{Гр , ГД = ЙЧрц. (8.25)
AN элементов алгебры Клиффорда связаны с группой SO (AN) стандартным
образом, а именно AN (AN-1)/2 генераторов группы SO(4M) определяются
выражением
OiL = Y^m, г Д (8.26)
Поскольку в базисе алгебры Клиффорда четное число элементов, можно
определить оператор "четности" (ср. с матрицей 75
НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ СУПЕРСИММЕТРИИ 53
в алгебре матриц Дирака)
4 N
Г4м+1 = ППГД (8.27)
р=1 г=1
удовлетворяющий соотношениям
(Г4у+1)2=+1, {Г"+1, Гр') = 0. (8.28)
Действительно, 22N состояний неприводимого представления (8.22) образуют
спинорное представление группы SO(4iV). Это спинорное представление
содержит два неприводимых представления, соответствующих двум собственным
значениям +1 оператора Г4у+ь каждое размерности 22М~К Любое линейное
преобразование генераторов Q, Q* (например, 6Q - rQ) можно представить
генератором, образованным из коммутатора Q и Q* (например, r[Q, Q*]). В
частности, генераторы SU(2) -вращений (операторы спина) даются выражением
s* = -irMMQ/B. (0м)*]. (8.29)
Легко убедиться, что
[QM, s,] = *WBQB/. (8.30)
Состояния с данным спином классифицируются той подгруппой SO(4iV),
которая коммутирует с соответствующей подгруппой SU(2)-вращений группы
SO(4N). Такой подгруппой является подгруппа, порождаемая всеми
генераторами, билинейными по Q, Q*, для которых при вычислении
соответствующих коммутаторов выполнено свертывание по двухкомпонентным
индексам, т. е.
*il = ^\.QA{AQA,yi kli = ^[QAi, Qj] (8.31)
и (k4)f = ki}. Легко проверить, что генераторы Л1'/, k'i и &,-/
порождают группу USp(2N), таким образом, состояния данного спина
параметризованы представлениями группы USp(2N). Что это группа USp(2N),
нетрудно заключить, если положить
, Q4V> а - I, .. ., N,
^Н.Ог a=N + l w, "ад
{
так как в этом случае генераторы Л';-, k'1 и kp определяются выражением
ab = 4^VQAa, QaI (8.33)
2т
Пользуясь тем, что
{Qa", QB6} = eASQa6, (8.34)
54
ГЛАВА 8
где
--и ;)¦
можно убедиться в справедливости соотношения
[sab, scd]=--Qacscd + . . (8.35)
а это и есть как раз соотношение алгебры USp(2N).
Состав частиц массивного неприводимого представления приведен ниже.
Теорема [21]. Если вакуум Клиффорда является скаляром относительно
спинорной группы SU(2) и группы внутренней симметрии, то состав частиц
неприводимого массивного представления группы суперсимметрии определяется
выражением
2Ш = [т' H + Fir1' (!)] + •¦ (*)] + ... +[о, (АО],
(8.36)
где первое число в квадратных скобках обозначает спин, а второе, например
(к),- ^-мерное антисимметричное бесследовое неприводимое представление
группы USp(2N), которому принадлежит данный спин ')¦
Рассмотрим пример с двумя суперзарядами. В этом случае группа,
классифицирующая состояния, есть USp(4). Имеем 24 состояний, среди
которых одно со спином 1, четыре со спином 1/2 и пять со спином 0, что
соответствует 1-, 4-, 5-мерным представлениям группы USp(4). Прочие
примеры приведены в табл. 8.3.
Если клиффордов вакуум - состояние со спином и принадлежит нетривиальному
представлению группы внутренней симметрии U(N), то неприводимые
представления получатся тензорным умножением этого вакуума на
представление, фигурирующее в приведенной выше теореме.
Введение нетривиальных центральных зарядов существенно изменяет массивное
неприводимое представление. Очевидно, центральные заряды изменяют алгебру
суперзарядов Q, действующих на состояние покоя, а именно эта клиффордова
алгебра определяет число состояний в соответствующих неприво-
*) Как упоминалось выше, спинорное представление группы SO(4N) содержит
два неприводимых представления, отвечающих бозонным (целые спины) и
фермионным (полуцелые спины) состояниям, которые разлагаются согласно
сформулированной теореме в сумму неприводимых представлений SU(2) (r)
USp(2N). Алгебра (8.19) допускает также форму записи, в которой очевидна
группа симметрии SU(2) (r) USp(2N). Антикоммутационные соотношения (8.34)
инвариантны относительно этой группы. - Прим. ред.
НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ СУПЕРСИММЕТРИИ 55.
димых представлениях суперсимметрии. В безмассовом случае значения
спиральности лежат в пределах от 0 до N/2 (до N/4r в СРГ-самосопряженной
теории), и представление имеет размерность 2N+X(2N), соответствующую N
нетривиально реализованным элементам вакуума Клиффорда. В самом деле,
легко
Таблица 8.3. Некоторые массивные представления (без центральных зарядов),
параметризованные представлениями группы USp(2N)
N Спин 1 2 3 4
2 1 1 1 1
3/2 1 2 1 4 1 6 8
1 1 2 1 1 4 5+1 6 14+1 27
1/2 1 2 1 4 5+14 14 14'+6 48
