Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
Эти вопросы рассматриваются в гл. 6. Ниже приводится пример, который
должен служить предупреждением против переоценки важности лагранжиана,
инвариантного относительно преобразований, смешивающих фермиевские и
бозевские поля, но не удовлетворяющих какой-либо определенной алгебре.
Рассмотрим лагранжиан
L = - -^-(dllA)2 - -^-%dx, (5.16)
которому соответствует действие, инвариантное относительно преобразований
6Л = ё%, 6% = дАе. (5.17)
Но эта теория не имеет ничего общего с суперсимметрией. Алгебра
преобразований (5.17) не замкнута как на массовой поверхности, так и вне
ее, если не учитывать дополнительных, порождаемых исходными
преобразований, которые хотя и отражают инвариантность свободной теории,
но не могут быть об-
МОДЕЛЬ ВЕССА -ЗУМИНО
37
общены на случай теории со взаимодействием. Действительно, на массовой
поверхности нет даже равенства ферми- и бозе-со-стояний, необходимого для
того, чтобы образовать неприводимое представление суперсимметрии. Этот
пример показывает, что правомерность "лагранжианов физических полей" как
су-персимметричных теорий основана на алгебре преобразований на массовой
поверхности.
В качестве заключительного замечания в этой главе следует отметить, что
проблема построения неприводимых представлений любой группы есть
математическая задача, решение которой не зависит от динамической
интерпретации физического контекста. Таким образом, вопрос о том, какие
поля в заданном представлении суперсимметрии являются физическими, а
какие вспомогательными, зависит от конкретной модели.
6. СУПЕРСИММЕТРИЧНАЯ КАЛИБРОВОЧНАЯ ТЕОРИЯ С N= 1: СУПЕР-КЭД (8]
Сначала для простоты рассмотрим абелеву калибровочную группу. Построение
этой теории приводится по примеру модели Весса - Зумино, за исключением
дополнительных трудностей, возникающих вследствие калибровочной
инвариантности. Прежде всего надо найти неприводимое представление,
задаваемое состояниями на массовой поверхности, которое содержит майо-
рановский спинор Яа и безмассовый вектор Аа. Поля Яа и Аа удовлетворяют
свободным уравнениям движения
§к = даи = о, (6.1)
где
fab == даАь дьАа.
Калибровочное преобразование поля Аа имеет обычный вид
б Аа = даЛ, (6.2)
в то время как
6Я = 0. (6.3)
В результате майорановского условия иоле Я не может быть заряженным.
Основываясь на соображениях размерности и лоренцевой инвариантности,
получаем наиболее общие преобразования, связывающие Аа и Я:
б Аа = еуаХ, (6.4)
6Я = (aoabfab + р даАа) е, (6.5)
где а и р - постоянные. При этом требуем, чтобы преобразования
суперсимметрии (6.4) и (6.5) и калибровочные преобра-
зования образовывали замкнутую алгебру. Коммутатор преобразования
суперсимметрии и калибровочного преобразования, действующих на поле Я,
есть
[бл, 6е] Я = бл (aoabfab + р даАа) е = даАе. (6.6)
СУПЕРСИММЕТРИЧНАЯ КАЛИБРОВОЧНАЯ ТЕОРИЯ С N - 1
39
Поскольку выражение в правой части (6.6) не является ни одним из
рассматриваемых преобразований, необходимо положить 0 = 0.
Коммутатор двух преобразований суперсимметрии, действующих на поле Аа,
равен
{6е" бег] Аа = S2ya (aecdfCdZi) - (1-^*2) = - 4г2дгуа,Аа+ 2да {ial^Azy).
(6.7)
Для получения трансляции поля Лц., существование которой следует из
алгебры суперсимметрии, необходимо выбрать а = = -1/2. Заметим, однако,
что в этом случае мы получаем не только трансляцию, но также и
калибровочное преобразование. Такова общая черта всех суперсимметричных
калибровочных теорий, являющаяся следствием выбора калибровки (см. гл.
11).
Читатель может проверить замкнутость преобразований суперсимметрии поля
X, удовлетворяющего уравнению движения дХ = 0. Таким образом,
преобразования
6Ла = гуаХ, 6X = -±acdfcde (6.8)
образуют неприводимое представление суперсимметрии и оставляют
инвариантными уравнения, которым удовлетворяют поля Аа и X.
Действие, инвариантное относительно этих преобразований, имеет вид
A=\d*x{-±(fabf-±Xdk}. (6.9)
Найдем теперь преобразования суперсимметрии вне массовой поверхности,
другими словами, для полей, не удовлетворяющих уравнениям движения. Снова
наше правило равенства чисел фермионных и бозонных степеней свободы
требует добавления полей. Но из выражения (6.7) видно, что коммутатор
двух преобразований суперсимметрии содержит как калибровочное
преобразование, так и трансляцию. Следовательно, можно без опасений
применять теорему из гл. 3 только к калибровочно-инвариантным состояниям,
поскольку для этих состояний {Qa, Qp} = 2(уц.С)"рРС Поле Аа имеет 3
степени свободы вне массовой поверхности (4 минус 1 калибровочная степень
свободы) . С другой стороны, поле Ха имеет 4 степени свободы. Простейшая
возможность - добавить одно вспомогательное поле D, размерность которого
2. Наиболее общие преобразования (в предположении, что D - псевдоскаляр),
которые на мае-
40 ГЛАВА 6
совой поверхности сводятся к преобразованиям (6.8), имеют вид
бАа = ёуа%, 6Я = (- ~ acdfcd + iaysD^ е, бD = гёу5дЯ. (6.10)
Замкнутость алгебры требует, чтобы а =-J-1, и подтверждает правильность