Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
+ блокальн. лоренц ( - ~ гаЬкрЬ\Р - -f- Wab (M+iy5N) 8, +Л/6) >
(9.26)
где
^=ё2у"е1.
Преобразования (9.24) оставляют инвариантным действие
А= \ d*x {-W R - Т V*" - Т e(M2+N2- Ьур) }, (9.27)
ПРОСТАЯ СУПЕРГРАВИТАЦИЯ
65
где
R = WV, R^ab D-] ¦
Вспомогательные поля М, N и Ьп можно исключить для получения нелинейного
лагранжиана физических полей. В таком виде супергравитация впервые была
получена в работах [14, 15].
Как обсуждалось в гл. 7, нелокальную теорию можно также построить,
используя только алгебру преобразования полей.
10. ИНВАРИАНТНОСТЬ ПРОСТОИ СУПЕРГРАВИТАЦИИ
На первый взгляд присутствие слагаемых, содержащих четвертые степени поля
фца в действии супергравитации (9.27), должно указывать на трудность
доказательства его инвариантности относительно преобразований (9.24). Эти
вызывающие затруднение слагаемые возникают потому, что связность Шцай
зависит от еца и фца. Непосредственное доказательство инвариантности [18,
19] можно получить, учитывая правильно члены ец" и ф>ц" в выражении для
wilab. Вместо того чтобы просто полагать действие функционалом, зависящим
от полей е^а, фц", М, N и 6ц, удобнее считать, что оно зависит от епа,
фд", М, N, 6ц и хю^аЬ, где поле Шцай само является функцией от е^а и фц"
вида (9.25), т. е. А (вца, фд", М, N, 6ц, w^ab(e, ф)). При этом вариация
действия принимает вид
м=S + " ш++
+^"-+^<10л)
где 6аУцай - вариация поля (r)ц°', полученная при варьировании
ена и Фм" в соответствии с (9.25). Преимущество такого
подхода
состоит в том, что последний член в (10.1) обращается в нуль, так как
=0. (10.2)
W"ab ^аЬ=м/Ь (*¦'1>>
Тождество (10.2) является следствием того, что функциональная форма
связности Шцай, данная формулой (9.25), есть просто алгебраическое
решение уравнения движения для Шцай в формализме первого порядка, т. е.
-ЛЦ- = о. (10.3)
ixab
Отсюда следует результат
+weM + w""} (l0•4,
ИНВАРИАНТНОСТЬ ПРОСТОЙ СУПЕРГРАВИТАЦИИ 67
или эквивалентное утверждение: поле в действии не сле-
дует варьировать. Иногда подход, изложенный выше, называют формализмом
порядка 1,5, хотя это скорее прием, чем формализм. Опираясь на него,
покажем теперь инвариантность простой супергравитации.
Рассмотрим сначала вариации, не содержащие вспомогательных полей.
Вариация эйнштейновской части лагранжиана имеет вид
б J -gar (*a*W6) d4X {ёу^а} { - V + ГГ }} •
(10.5)
Вариация рарита-швингеровской части дает следующие три слагаемых:
6 \ (- d4x =
= \ й*Х{ ~ it lDn4b4vDf,№vp* - ^^ЧьЧчПрОкЪг"'1"* -
- yiV^v^YsYa^p^M^P*}. (Ю.6)
Второе слагаемое в этом выражении можно преобразовать, учитывая
соотношения, приведенные сразу после формулы (9.27); при этом оно
принимает вид
eacdYvYr,^#P-/depvp'4. (10.7)
Интегрируя первое слагаемое в (10.6) по частям и пренебрегая
поверхностными членами, найдем
+ ? ёу5 [D", Yv] ?рФ*е^р,< + d- ¦ (Ю.8)
Второй из этих двух членов можно переписать следующим образом:
+ tW *4b4vRwdVcd%&vpK. (Ю.9)
Складывая выражения (10.9) и (10.7), получаем ~2тш 1Ч5 (4v<*cd + crcdYv)
ФцЯрЛе^Р* =
= i = ~ i *У"% (e/R ~ 2/?Л-
Выражение (10.10) в точности уничтожает вариацию эйнштейновского действия
(10.5). Следовательно, остается лишь первое
68 ГЛАВА 10
слагаемое (10.8), т. е.
+ ^ёу5[Пц, YvlZyiv^P*, (10.11)
и последнее слагаемое формулы (10.6), а именно
- /ёуафуфцУ57а^рФи8^ри- (10.12)
После применения преобразования Фирца (10.12) принимает вид
- -2Т4- ^УаУяУаУьО рф>ие^рифц-удфу =
= + -j гвусУо^рФи^ЧцУЧу- (10.13)
Выражение (10.11) проще вычислить, перейдя к инерциаль-ным координатам,
т. е. положив dlleva = 0; при этом оно преобразуется к виду
+ ёу5 [acd, yv] дацС<гПрфие^Ри =-^- ёу5усПрфидацСуе^р,< =--
= + Т гёуоУ^рФиФцУсФу6^- (Ю. 14)
Этот член взаимно уничтожается с выражением (10.13).
Остается только показать, что вариации, содержащие вспомогательные поля,
взаимно сокращаются. Варьирование членов действия, содержащих
вспомогательные поля, дает
а $ d4* {- у (м2 + N2 - ъ\)} =
= J Л:ё j (М + iy5JV) у ур + (б" - у 5ур) г'у5} #*• (10.15)
Единственное другое выражение такого вида составляют из вспомогательных
полей при варьировании гравитино, входящего в действие Рариты - Швингера;
оно имеет вид
И- "[т^ + ^вЛОУц + ^ц - if (10.16)
Выражения (10.16) и (10.15) взаимно уничтожаются; таким образом, мы
показали инвариантность действия супергравитации во всех порядках по
параметру х.
II. ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ГЛОБАЛЬНОЙ СУПЕРСИММЕТРИИ
Для любой группы симметрии существуют правила, согласно которым по любым
двум представлениям группы можно образовать третье. В сочетании с
законами образования инвариантов эти правила позволяют последовательно
строить функционалы действия для той или иной теории. Это справедливо не
только для групп внутренней симметрии, но также для пространственно-
временных групп, таких, как группа Пуанкаре или конформная группа. В
случае группы Пуанкаре мы пользуемся 4-векторами и тензорами более
высокого ранга. Правила комбинирования тензоров для получения тензоров
высших рангов очевидны. Инварианты образуются в результате свертывания
