Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
при наличии сил сопротивления. Уравнения движения (1.2) свободной,
целиком упругой колебательной цепи записываются весьма просто:
= fa Rk (^i* • • ч Уи • • ч Ун),
3V .... (зл)
^(сР)С - Qy R-lV+/C (ХХ, • • •" Xjv, Уъ • • ч Hn)
(fc = l,...,A/).
Обозначим через inf F наименьшее значение потенциальной энергии свободной
целиком упругой колебательной цепи среди 2N - 1 положений равновесия,
отличных от нижнего. В фазовом пространстве хх, . . ., Xjv, Pi, • . .,
Pjv" хх, • • •" &n, Pi> • • •" Pn определим замкнутую область G
неравенством
T + V < inf V.
Теорема. При наличии сил сопротивления, удовлетворяющих условию (1.1),
нижнее положение равновесия свободной, целиком упругой колебательной цепи
асимптотически устойчиво для начальных отклонений
_<ВД д.(r) "ад "ад +(0) +(0) .(0) .(0)
Х± у • • •c.jv " i/l " • • ч i/N " •t'l " • • ч •t'N " i/1 у • • ч i/N >
принадлежащих области G. Последнее означает, чтгао + F(0) удовлетворяет
неравенству
24о) + F(o) inf (3.2)
где е выражении TW и F<0) подставлено х1 = х{0), . . ., pjv = рлР-
Доказательство. Примем за функцию v теоремы 14.1
Н. Н. Красовского [70] полную энергию системы
v = Т + V - V (0.......0). (3.3)
44 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЦЕПИ [ГЛ. II
Вычислим V (О, . . ., 0) - величину потенциальной энергии в нижнем
положении равновесия
N
V (0,. .., 0) = - |mkg [(Zi + Xi) . . . + (lk -j- ^k)] +
A=1
+ ~2°k (lk - Ц ¦
Покажем, что V - V (0, . . .,0) будет определенно-положительной в смысле
Ляпунова функцией х1г . . ., х^, у1у . . у и- Преобразуем
V - V (0, . . ., 0) к виду
N
У - У (0, . . ., 0) = ск Кхк - хк-1)2 + (ук-!/A-l)2 + 2Zk (1к + кк +
(?=1
+ Ук- Ук-1) - A Y(хк - ^A-l)2 + (h + ^к + Ук - Ук-1)2]
и установим справедливость неравенств
(Хк - хк-1)2 + (Ук - Ук-1)2 + А А + кк + ук - Ук-1) > > 2 lk V (хк~ хк-
1)2 + (Ik + ^к + Ук - Ук-1)2 (3-4)
(к = 1, . . ., N; х0 = у о = 0). Левая часть этих неравенств может быть
представлена в виде
(хк - хк-хУ + (ук - у^ 1 + 4)2 + 1к (1к + 2кк)
и, очевидно, положительна. Возведем неравенства (3.4) в квадрат и после
преобразования получим
[(xk - xk-(f + (ук - Ук~i)2 + 2lh (yk - Ук-i)]2 +
+ 41ккк [(хк -^k-i)2 + (Ук - Ук-i)2l (к = 1, . . .,
N).
Полученные неравенства достоверны, в них одновременное наличие знака
равенства возможно лишь при х1 = . . . = х^ - уг = = ¦ ¦ ¦ - Уи = 0-
Следовательно, полная энергия (3.3) системы будет определенно-
положительной в смысле Ляпунова функцией всех лагранжевых координат и
скоростей. Производная ее в силу уравнений (3.1) равна
N
А. [Т + V - V (0,..., 0)] = - ? (Rkxk + RN+kyh) < 0. к-1
При этом в силу определения рассматриваемых сил сопротивления равенство
нулю в последнем неравенстве возможно лишь в положении равновесия.
Движение, начавшееся в области G, не может из нее выйти, в области же G
положение равновесия будет единственным. Таким образом, выполнены условия
теоремы 14.1
Н. Н. Красовского [70]. Теорема доказана.
§ 1] СВОБОДНЫЕ, ЦЕЛИКОМ УПРУГИЕ ЦЕПИ 45
Примечание. Можно установить формулы для радиуса сферы или ребра куба,
вписанных в замкнутую 4/У-мерную область G.
1.4. Уравнения в вариациях для вертикальных колебаний системы. Выпишем
подробно уравнения (3.1)
=
= -Ск (хк - Х^) + Ск+1 (хк+1 - Хк) + Ск1к (хк - Х^) X
X l(xk - xk-l)2 + (4 + ft/c + У к - У к- l)2]J,z -
- 0с+i4+l (хк+1 - Xk) [(хк+1 - Хк)2 +
+ (4+1 + 4с+1 + Ук+l - Ук)21~'/г -
- Вк (хг, . . ., xN, уг, . . ., $N), (4.1)
ткУк = -с/с4 + c/c+l4+l - ск (Ук - Ук-1) +
+ ск+1 (Ук+1 - Ук) + 44 (4 + ft/c + Ук - Ук-1) X Х[(хк - хк-1)2 + (4 + 4
+ Ук - Ук- l)2l~1'2 -
- c/c+l4+l (4+1 4" 4c+l + Ук+l - Ук) X
X l(xk+i '- Хк)2 + (4+1 + 4+1 + Ук+l - Ук)2)~'1г -
-RN+k (±г, . . ., xN, уг, . . ., yN) (к = 1, . . ., N).
Допустим, что проекции на ось а: сил сопротивления удовлетворяют условиям
Rk (0, . . ., О, уи yN) = 0 (к = 1, . . ., N). Система (4.1) допускает
решение (невозмущенное движение (1.3)) хк = 0, Ук = Уко (0 (ft = 1, • •
•, Ю\ (4.2)
при этом ук0 (t)] удовлетворяют системе уравнений .. 1
УкО + -RN+k (0, . . ., О, У10, . . ., ут) - РкУк-1,0 +
тк
+ (Рк + ^/c+lft+l) Ук0 - Pk+lPk+lVk+l.o - 0 (4.3)
(ft = l,...,tf).
Здесь
Рк= -^г (* = 1, • • -,N; Pn+i = 0),
тк
Рк = -=г- (k = 2,...,N;nN+i=0).
тк-1
Проверим выполнение условий (1.7)-(1.10) (п = 2N, m=N). Условия (1.7) и
(1.8) выполнены, так как
_ Г mAi (v = 1 i = l,..., 2N),
fl\ii %
1 m^N 6vi (v = N + I, . . .,2N; i = 1,. .., 2N).
46
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЦЕПИ
[ГЛ. II
Условие (1.9) требует, чтобы
Ш = 0' (^г). = 0 = <*•*>
где индекс нуль означает, что после дифференцирования подставлены
значения аргументов из (4.2). Условия (4.4) будут выполнены, в частности,
если Rk не зависят от ylt a Rn+ic - от жг (к, I = 1, . . ., N). Будем
предполагать условия (4.4) выполненными. Условие (1.10) требует, чтобы
что выполнено, так как индекс нуль означает, в частности, что • после
дифференцирования положено хг = . . . = хц = 0. Следовательно, имеют
место уравнения в вариациях (1.11) и (1.12) для возмущенного движения (хк
