Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
(6.1) влечет за собой (за исключением, быть может, граничных случаев)
неустойчивость невозмущенного движения ([145а], п. 70) по отношению к
переменным' х, у, А, у.
Это обусловлено тем, что первое из уравнений в вариациях имеет своим
коэффициентом периодическую функцию и при неустойчивости его тривиального
решения наинизшее характеристичное число в смысле Ляпунова отрицательно.
Переходя к исследованию неустойчивости тривиального решения уравнения
, Y + И-cos х е _ п /с
dr2 1 -(- y + И-cos х ' -
начнем, однако, с критерия Жуковского [251], гарантирующего устойчивость
при выполнении неравенств
±fc*<p(f)<±(fc + l)* (к = 0,1', 2, . ..).
При условии р, < 1 + у, выражающем естественное ограничение, что
амплитуда продольных колебаний меньше статически напряженной длины
пружины, имеем
(tm)*Р(Г)= Пн7=йГ'- supp(T)=
Критерий Жуковского требует выполнения неравенств Р < 7> ц <-д - 7 (при к
= 0),
50
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЦЕПИ
[ГЛ. II
либо неравенства
р
+ У (при к = 1).
При к 1 критерий отказывает. Результирующая область устойчивости
тривиального решения уравнения (6.2), доставляемая применением критерия
Жуковского, заштрихована на рис. 4. Проделанное построение окажется
полезным для сопоставления с
областью неустойчивости.
Для отыскания области неустойчивости по методу малого параметра примем р
за малый параметр и запишем уравнение (6.2) в виде
§ + (Po(y) + №(t,7) +
+ M^PsKy) + •••]? = °;
при этом
Ро (У) Pl (т, у) =
(ptt) (у) =
- 1 + V*
2pW (у) Cos т
2 (1 + у)*) •
В скалярном случае области неустойчивости в плоскости параметров ру могут
примыкать на оси р = 0 к тем точкам ут, которые являются корнями
уравнения ([146], (V, 2.5))
2 VРо (Ут) = т или ут :
(т = 1,2,...). (6.3)
При у )> 0 широкая область неустойчивости (т. е. с отличным от
нуля углом между касательными) примыкает лишь к точке ух = у ,
и других таких точек на полуоси у ]> 0 нет. Тангенс угла наклона
касательной в нашем примере определится по формуле, получаемой из [146],
(V, 2.24)
+
Яг0 (У) L dp0/dy
Yi=+-
(6.4)
Отсюда определяется в первом приближении область неустойчивости
вертикальных колебаний маятника на пружине
СВОБОДНЫЕ, НЕ ЦЕЛИКОМ УПРУГИЕ ЦЕПИ
51
Лучи, ограничивающие эту область, обозначены на рис. 4 штриховой линией.
Из общей теории ([146], п. V,2.3)) следует, что так как
то уравнения границ будут аналитическими функциями параметра [х, поэтому
отброшенные члены по порядку не ниже р2. Следующие коэффициенты
разложений можно вычислить, воспользовавшись тем, что на границах этой
области неустойчивости существует антипериодическое (поскольку тп
нечетно) решение. Приведем лишь окончательный результат: во втором
приближении область неустойчивости определяется из неравенств
Ограничивающие эту область кривые даны на рис. 4 штрих-пунктирной линией.
Из опытов известно [240], что возмущение вертикальных колебаний при
наличии сил сопротивления имеет место для маятника
неустойчивости" будут порождать в диссипативном случае области
неустойчивости вертикальных колебаний. Несмотря на асимптотическое
затухание колебаний, которое при не столь большой диссипации будет идти
медленно, практически большие изменения колебаний за счет авторезонанса в
цепи могут оказаться весьма существенными для оценки работы системы.
§ 2. Свободные, не целиком упругие колебательные цепи
Помимо общих положений теории колебательных цепей, значительное место
уделяется устойчивости их вертикальных колебаний. Аппаратом исследования
является математическая теория параметрического резонанса. Подчеркнем,
что в наших задачах встречаются канонические (гамильтоновы) системы
линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами
специального вида, именно когда параметр у, соответствующий обратной
величине частоты параметрического возбуждения, входит нелинейно. Для
таких систем формулы для границ областей динамической неустойчивости даны
В. А. Якубовичем и Б. Г. Питтелем ([303]; [146], п. V.2.3).
2.1. Постановка задачи. Рассмотрим механическую систему из N
материальных точек с массами тк и декартовыми прямоугольными координатами
хк, ук, zk (к = 1, . . ., N) относительно инер-циальной системы
координат. Из 3N - п голономных независимых
3
на пружине с
Области "консервативной
52
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЦЕПИ
[ГЛ. II
явно от времени связей пусть N связей будут: zx = 0, . . . . . zjv = 0
(это означает, что движение будет плоским) и 2N - п связей
U (xlt у1 xN, уN) =0 (а = 1, 2, . . 2N - п).
Обозначим через q1, . . qn лагранжевы координаты системы и представим
обобщенную силу, соответствующую координате q", в виде
<?v (?i qn) --Rv (сп in) (v = 1, . . ., n), (1.1)
где Q-j и - непрерывные и дифференцируемые функции своих аргументов в
области их определения.
Кинетическая энергия системы
it
Т ~ ~2~
h J=1
при этом
/дхъдхк дук ду Д
o,i=""(?!,<7") = }_(*./ = !.•••. ")•
(?=1 13 1 Уравнения движения в форме Лагранжа второго рода запишутся в
виде
N
дхк ! д*хк дхк ! д->-хк дхк
2 а^а?у а? . п 2 a?va?- a?i
