Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3. Вынужденные колебания прядильных центрифуг
3.1. Постановка задачи и уравнения движения. В производстве вискозного
шелка применяется прядильная центрифуга, представляющая собой сочетание
электроверетена с прядильной кружкой, укрепленной на конце вертикального
консольного гибкого шпинделя. Рабочая скорость вращения шпинделя
приближается в современных прядильных центрифугах к 9000 об/мин. Эта
скорость значительно превышает ту угловую скорость, при которой начинают
заметно проявляться упругие свойства шпинделя. При определенной скорости
упругие восстанавливающие силы и моменты, возникающие вследствие
деформации шпинделя, несущего прядильную кружку, уравновешиваются
инерционными силами и моментами, обусловленными его вращением. По
общепринятой терминологии гибким валом называют такой, основная
собственная частота поперечных колебаний которого ниже угловой скорости
его вращения. Большим достоинством центрифуг с гибким валом является их
свойство самоцентрирования. При указанных рабочих оборотах возникает
тенденция к устранению как статической, так и динамической
неуравновешенности ротора.
Однако в устройствах с гибким валом при определенных условиях могут
возникнуть неустойчивые режимы движения. Возможны также автоколебания, т.
е. такие режимы, когда наряду с чисто вынужденными колебаниями от
дебаланса ротора возбуждаются незатухающие колебания, происходящие с
частотами, близкими к собственным частотам линеаризованной системы
дифференциальных уравнений, описывающих движение устройства.
Причиной потери устойчивости режима чисто-вынужденных колебаний в
закритической области может быть внутреннее трение в материале гибкого
вала ([74], стр. 108-ИЗ). Согласно известному теоретическому положению
силы внешних сопротивлений отодвигают границу устойчивости в область
высоких частот [44, 45]. В связи с этим представляет интерес задача,
состоящая в определении таких соотношений между параметрами внутреннего
трения и внешних сопротивлений, при которых вынужденные колебания
центрифуги оказываются асимптотически устойчивыми.
Для вывода дифференциальных уравнений движения центрифуги воспользуемся
расчетной схемой, предложенной Я. И. Ко-ритысским ([66], стр. 383).
Представление о расчетной схеме прядильной электроцентрифуги типа ЭВ-ЗМ
можно получить из рис. 1.
Там же указаны координаты, определяющие положение устройства относительно
неподвижной системы отсчета xuv. Ось х в действительности направлена
вертикально вверх. Согласно принятой динамической модели и учитывая
некоторые естественные допущения, принимаемые многими авторами [66, 74]
колебания электроцентрйфуги можно опиеать квазилинейной неавтономной
32
ВВОДНАЯ
[ГЛ. 1
системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами при
ведущих членах. Записанная в комплексной форме, она имеет следующий вид:
та1 -)- СцЩ - с12и2 - с13и3 = mev2 exp (ivt) -
- р {нг [йг -)- iev exp (ivi)](x0 -)- щ \ ux |2) +
+ hcu (йг - i-vu^ - hc12 (й2 - ivu2) - hc13(u3 - ivu3)},
К-ъРз - ivK3ii2 - ^21^1 "H c22^2 "t- c23u3 =
= Ц [( 2' ivK0il2 -(- C2^U^ ^22u2 ^23из) I U2 |2 -
(i\K0u2 -2^1ii2)Re (й2й2) -)- hc21 (аг - ivux) - (1.1)
-hc22 (й2 -i\u2) - hc23 (m8 - ivu8)],
Au3 - cslu1 + c32u2 + (c83 + f)u3 = [i [hc31 (h, - ivuj) -
- hcS2 (w2 - i\u2) - hc°33 (us - ivu3) - Ах2й3].
Смысл комплекснозначных координат uj (j == 1,2, 3) легко выясняется из
рис. 1: иг = ц -f- г|, где ц и | - координаты центра
тяжести жесткой части ротора 5 вместе с прядильной кружкой*#; и2 = ai +
Фи гДе ai И pj - углы Резаля, характеризующие направление касательной к
упругой оси вертикального консольного гибкого валика 4 в точке насадки
жесткой части ротора 5; ия = = ф -)- гб, где ф и б - углы,
характеризующие отклонения оси корпуса электроверетена 1 от неподвижной
оси х.
Постоянные коэффициенты cjh = cl:j, с°3 (j, к = 1, 2, 3) зависят от
конструктивных и физических параметров устройства. Жесткость
амортизаторов корпуса 2 по отношению к угловым пере-
§ 3} ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРЯДИЛЬНЫХ ЦЕНТРИФУГ 33
мещениям корпуса 1 определяется коэффициентом /. Линейный эксцентриситет
е ротора считается малой величиной по сравнению с ведущими членами
дифференциальных уравнений. Остальные величины, входящие в уравнения
(1.1), имеют следующие значения: К0, Кг - соответственно полярный и
экваториальный центральный моменты инерции ротора; А - экваториальный
момент инерции устройства для его неподвижной точки; тп - масса ротора;
х0, xlt х2 - коэффициенты внешних диссипативных сил; h - коэффициент
внутреннего трения в материале гибкого валика
Отметим, наконец, что параметр р. введен в дифференциальные уравнения
движения (1.1) для выделения членов, малых по сравнению с членами,
записанными в левых частях этих уравнений.
3.2. Определение периодического решения. Как свидетельствуют
экспериментальные данные, а также наблюдения за центрифугой в процессе
эксплуатации, неуравновешенность ротора является причиной возникновения
