Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
целиком упругой колебательной цепи)
Як = Яко W = 0 (к = 1, . . ., N),
Яя+j = qn-ц,о(0 <7 = 1, • • N - К),
где <7л+3-,о (0 определяется из последних уравнений (1.2). Это решение
примем за невозмущенное движение (1.3). Нетрудно показать, что условия
(1,1.7) -(1,1.10) выполнены и, следовательно, уравнения в вариациях
разбиваются на две группы (1,1.11) и (1,1.12) из N и N - h уравнений.
Неустойчивость невозмущенного движения будет определяться
неустойчивостью тривиального реше-
ния первой группы (1,1.11), ибо характеристичные числа второй группы
(1,1.12) неотрицательны (п. 1.6).
2.3. Пример. Рассмотрим двухзвенную колебательную цепь, в которой первое
звено абсолютно жесткое, а второе - упругое с жесткостью с. Обозначения
ясны из рис. 5. Статическое удлинение
56
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЦЕПИ
[ГЛ. И
пружины %2 = m2g/c. Формулы (2.1) и (2.2) запишутся в виде
Т = -у m2 (х\ -f- у2) + -у niihffi,
1
V = - m-gli cos фх - m2gy2 + -с [{х2 - к sin cpi)2 +
-Ь (к -V к2 у2 к - Zxcos фх)2] - cl2 [{х2 - к s.in фх)2
_х_
+ (к + ^2 + У2 + Zx - к cos фх)2] 2 •
Уравнения Лагранжа (1.2) при естественном предположении, что 12 + ^2 + У2
0, допускают решение (вертикальные колебания массы тп2 - невозмущенное
движение)
фх = 0, х2 = 0, у2 = Y cos ?2 t
(° - V i) ¦
Группа уравнений (1,1.11) в вариациях (фх = 0 + Ф, х2 = = 0 + х2) может
быть записана в безразмерном виде
rf2<t> йт2
+ а(1
?(1 + а) Ру + сфр cos т +
Ф-/а(1-т--------i U = 0, (3.1)
\ 1 + У + Р cos т / v '
^/Г<Х ^ 1 + у + р cos т)Ф + (1 1 + Y + Р соз т
T = Qf, | = /а^, а=-^-,р^-^-,у = -|
1
1 + Y + Р cos т
d% .г-1
Л2
Е = 0
Ограничимся случаем тп1 = тп2, к - к (a = Р = 1) и запишем систему (3.1)
в матричной форме
+ [Ро (У) + pPi К У) + № (?, У) + • • •] У = 0,
где
у = (?) ' р° ^ = ~т+~-
1+2(1+y) -1 -1 1
Рх (t, Y) = 2Р?° (Т) cos т, Pj° (у) = Матрица
1
d Р0
1
dy
(1 + у)2
2(1+7)
1 + 2 (1 + у)2 -1
1 + (1 + 7)2 -1 -1 1
-1
1
положительно-определенная; тогда применимы результаты В. А. Якубовича и
Б. Г. Питтеля ([303]; [146], п. У,2,3). Вычислим
§ 2]
СВОБОДНЫЕ, НЕ ЦЕЛИКОМ УПРУГИЕ ЦЕПИ
57
% (у) и ш2 (у) - собственные частоты невозмущенной системы
Широкие области неустойчивости (т. е. с отличным от нуля углом между
касательными) могут примыкать лишь к тем точкам полуоси р = О (у 0), для
которых
- возрастающие функции у, то широкие области неустойчивости могут быть
при единственном значении у в каждом из следующих трех случаев: 1) 2щ (у)
= 1, 2) 2<o2 (Y) = 1 - основной резонанс, 3) % (у) + "г (y)
= 1 - комбинационный резонанс. Так как
(Pi)0p = 0, то для вычисления (угловых коэффициентов касательных к
границам областей неустойчивости) воспользуемся фор-
а aj, ah - -соответствующие собственные векторы матрицы Р0, т. е.
Приведем результаты вычислений. Области первого (1) и второго (2)
основного резонанса на рис. 6 определяются с точностью до О (р2) из
неравенств
а область комбинационного резонанса (3) находится из неравенств
0)1 ' (/М1 + l+Y Vi + (1 + Y)*]'
(3.2)
"7 (Yo) + "h (Yo) = 1 (h h = 1, 2). Поскольку в нашем примере
2а>х (у), 2<о2 (у) и (c)! (у) + <о2 (у)
(3.3)
мулой [146] (V,2.24)
(3.4)
Здесь Yo - корень соответствующего уравнения (r)7 (Y) + "л (Y) = 1 (/>
h = I, 2),
Po (Yo) a; = <a°j (Yo) a j, P0 (Yo) ah = (Yo) ah,
причем
I <¦>; (Yo) + ">h (Yo)1 (a7> a,.,) = 8]h (j, h = 1, 2).
0,076 - 0,364p + ... <C Y <C 0,076 + 0,364p ...,
0,549-0,385p + . . . < у < 0,549 + 0,385p + . . .,
0,157 - 0,088p + . . . < у < 0,157 + 0,088p + . . ..
58
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЦЕПИ
[ГЛ. П
2.4. Маятник на свободной упругой подвеске. Пусть математический маятник
массы т2 с длиной стержня Z2 подвешен к шарниру массы т1 (рис. 7).
Пружина с длиной в ненапряженном состоянии Zj и жесткостью с одним своим
концом прикреплена к шарниру, а другим - к неподвижной точке О,
статическое удлинение
о-
пружины X = (щ + щ) g/c. Формулы (2.1) и (2.2) дают
1 1
Т = - (т1 + т2)(хг у2) -\--^-тг1гц>г + т21гу (? cos ф - у sin ф),
V - - (mi + т2) gy - niigli cos ф +
+ ~2~с [я2 + (к + X + у)2] - clx Ухг (Zx -\r X -f- yf .
Уравнения (1.2) запишутся в виде
(т1 + т2) х + т2кcp cos ф - т212фг sin ф =
= -ex + с1гх [а* + (Zj + Х+ у)2]-'К (4.1) (1Щ + т2) у - mjjZjjfр sin ф -
cos ф =
= -с (к + У) + ск (к + Я, + у) I*2 + (к + А, + у)2И',
Z2cp х cos ф - у sin ф = - g sin ф.
Введем безразмерные координаты | = х11х, т) = у/к и безразмерное время т
= YсЦт^ + т2) t\ тогда] система уравнений
§ 2]
СВОБОДНЫЕ, НЕ ЦЕЛИКОМ УПРУГИЕ ЦЕПИ
59
движения преобразуется к виду
?* + aPq/coscp = aPq/'sin Ф - I + I Ц2 + (1 + у + л)2Г',г, т)" - аРф* sin
ф =
= аРф'2 cos ф - (1 - т]) + (1 + у + т])[?2 + (1 + у + Л)2]"*'* cos ф -
т)" sin ф + Рф" = -у s*n Ф"
где введены параметры
т2
т1 + т2
<1, Р =
и
X
У - ~г
и штрих означает производную по т. Разрешим последнюю систему
относительно старших производных:
1 - a sin2 ср
г =
"V ..
Л = Y
1 - a
-f- аРф'2 sin ф -J-
(1 + Y + Л) SK sin ф cos ф,
1 - a cos2 ф 1 - а
(1 + Y + Л) + аРф" cos ф -J-
