Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Re aj (р) = - sign /-Im [(Р?0) + гсо,-(^0)]а>, а,)р + О (р2)
(; = ± 1, . . ., ±к).
Следовательно, если
sign /-Im([P{0) + гсо>(^0)]а;-, а;) >0 (/ = ± 1, . . ., ±к), (5.5)
1) Напомним, что (х, у) = (см. сноску в п. 2.3).
24
ВВОДНАЯ
[ГЛ. I
т. е. для всех /, то невозмущенное движение (1.2) асимптотически
устойчиво [77а, 145а] при достаточно малых положительных jut, а если хотя
бы для одного из скалярных произведений (при некотором ]' из
последовательности ±1, . • ±к)
sign/'-Im ([Pi0) + а/) < 0, (5.6)
то невозмущенное движение (1.2) неустойчиво [77а; 145а] при достаточно
малых положительных р.
Прим е ч а н и е. В рамках рассматриваемого случая различных
мультипликаторов допустим, что
(Р{0)а;, аД (/ = ±1, . . ., ±к)
вещественны. Это заведомо будет иметь место при тривиальном условии Pi0)
= 0, а также при условии Q0 = 0. В последнем случае а!, . . ., afc, как
собственные векторы симметрической матрицы М_1Р", вещественны и а_/ = а;
(; = 1, . . ., к). Поскольку to; sign; >0 (см. (5.2)), то
Re а; (р) = - Re (Qi0)a;, аДр + О (р2) (; = ± 1, . . ., ±к).
Следовательно, если для всех ;
й; = - Re (Qi0)a;, а,-) = т
- -jr Re ^-a3-ai)<0 (j = ±1, ±к), (5.5')
то невозмущенное движение (1.2) асимптотически устойчиво при достаточно
малых положительных р, а если хотя бы для одного из скалярных
произведений
*)><>, <5-в,)
то невозмущенное движение неустойчиво при достаточно малых положительных
р. Если Q0 = 0, то условия (5.5') и (5.6') достаточно испытывать только
для одних положительных индексов и знак Re автоматически опускается из-за
вещественности (Qi0)a;, а7) (; = 1, . . ., к).
2.6. Случай кратных мультипликаторов ([146], п. V, 3.4). Допустим, что
система уравнений (5.1) имеет r-кратный мультипликатор ро, отвечающий
периоду Т:
Ро = eiu,(0'T.
Пусть оз^, . . ., оз;г - класс корней уравнения (5.3), отвечающий
О МЕТОДЕ ПУАНКАРЕ
25
этому мультипликатору, т. е.
ю*~~ со(°) ^modсо = (j = /ь ..., ;г)-
Итак, система уравнений (4.2) имеет при р = О кратный характеристический
показатель itо<0). Определим целые числа т} формулами
Если вещественные части корней этого уравнения . . ., %/г отрицательны и
это имеет место для всех мультипликаторов системы уравнений (5.1), то
невозмущенное движение (1.2) асимптотически устойчиво [77а, 145а] при
достаточно малых положительных у. Если вещественная часть хотя бы одного
из корней уравнения (6.2) в одном из классов положительна, то
невозмущенное
2я
щ = (c)(О) т. - (j = jlt , /г)-
Представим матрицы-функции (см. (4.1))
матричными рядами Фурье в комплексной форме
со
со
Определим числа Ojh формулами
</, h = h ir),
где aj пронормированы условиями (5.4), а
г
(6.1)
о
т
о
Введем числа
0 i Ф К
¦ 1 / = h > °" (Л h = h, h)
.-1 / = Л< О
й составим уравнение
det I ajh - i%ylh Ц,-, h=Jl, ,r = 0.
(6.2)
26 ВВОДНАЯ [ГЛ. 1
движение (1.2) неустойчиво (77а, 145а] при достаточно малых положительных
р
Для г характеристических показателей системы уравнений в вариациях (4.2),
обращающихся при (i = 0 в г со(0>, справедлива формула
a j (р) = гсУ°> + + О (р1+6) (6 > 0; / = Д, . . .,
/г),
где числа %] являются корнями уравнения (6.2).
2.7. Примеры. Пример 1. Рассмотрим скалярное уравнение Ван-дер Поля
I + о2| = I sin t + р (1- i2)i, (о > 0, I > 0),
детально исследованное А. А. Андроновым и А. А. Виттом ([3], стр. 70-84).
Корни характеристического уравнения (1.6) суть к ~ = ± ia. Исследуем оба
возможных случая.
а) Нерезонансный случай (а не есть натуральное число). Уравнение (1.3)
запишется в виде
|(0) + а2|(0> = I sin t
и допускает единственное 2я-периодическое (Г = 2л) порождающее решение
S(0)= ^=7sin<-
Из первого уравнения (1.4)
I'0 + = [1 - -5Г=Г1 ">*> *
определится первая поправка
?(1> = (о2 -I)2 [4 ~ 4 (о2 - I)2] C0S 1 + 4 (о2 - 1)3(о2 - 9)C0S 3L
Все последующие члены ряда (1.2) определятся также единственным образом
из, второго уравнения (1.4) и последующих уравнений. Искомое решение
(1.2) есть
6(<, (*) = ЗпН + {Е1 ~ 4 (о2 - I)2'] cos ^ +
+ 4(а2-С1На2-9)} + 6>^)-Для суждения об его устойчивости вычислим D по
формуле (5.5'):
2 я
= Юг I [4 ~ (а2-I)2 sili2 *] dt = 1 " 2(о2 -I)2 '
О
§ 2] О МЕТОДЕ ПУАНКАРЕ 27
и, согласно (5.5') и (5.6') заключим, что для достаточно малых р и при
р > 2 (а2-I)2 (7.1)
найденное 2л-периодическое решение | (t, р) асимптотически устойчиво, и
неустойчиво, если знак неравенства обратный.
б) Резонансный случай (а = р, где р - натуральное число). Уравнение
(1.3) примет вид
|(°) _|_ р2?(°) = I sin t
и допускает 2я-периодическое решение для любого р начиная с двух, что и
будем предполагать в дальнейшем. Согласно п. 2.3,
?0) = ~ПГТ sin t + Si cos pt + sin pt.
После очевидных вычислений определятся левые части уравнений
(3.5) и сами уравнения запишутся как
'К =----4- Кг Гй + Са + / г_ 1)2 - /j;] =
t.-S-Pbtfi+a+T^-i]-". (7'2)
При любых значениях параметров pul уравнения допускают нулевое решение
Ci = С, = о,
а при I < Y2 (р2 -1) сверх того еще и решение
г - Г(0) Г - 7-(0> - ?= l/"Z 2Р Йор-
