Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
может быть, и некоторой модификации вычислительных алгоритмов, развитых в
фундаментальных исследованиях Н. Н. Боголюбова [17, 72], Ю. А.
Митропольского [85г] и А. М. Самойленко [19].
Можно наметить общий подход к так называемой задаче о перекачке энергии
(§§ 1-3). Первым, ее этапом является установление исходного (чаще всего
тривиального) периодического режима и определение областей его
неустойчивости в пространстве параметров системы, на основе
математической теории параметрического резонанса. Это проделывалось в пп.
11,1.6,11,2.3,
11,2.4, 11,2.5. Второй этап решения заключается в отыска-
нии периодических режимов, возникающих при критических значениях
параметров и отличных, разумеется, от исходного. Этот этап основывается
на преобразованиях п. 1,1.2 и применении к преобразованной системе метода
Пуанкаре [107а] определения периодических решений. Но к преобразованной
системе можно применять и другие методы малого параметра, например, метод
усреднения, позволяющий провести третий этап решения - исследование
переходного процесса, часто называемого перекачкой энергии. Эти три этапа
и иллюстрируются на примерах механических систем (§§ 1,3) и физической
системы (§ 2) с двумя степенями свободы.
64
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ МАЛОГО ПАРАМЕТРА
[ГЛ. II
§ 1. Процесс срыва вертикальных колебаний пружинного маятника
При определенных значениях параметров происходит срыв вертикальных
колебаний массы на пружине в результате сколь угодно малых поперечных
возмущений движения (см., например, [240, 367а]). Математическое описание
этого процесса и составляет содержание § 1. "
1.1. Первый этап. Рассмотрим движение массы т, на невесомой пружине
длиной I в ненапряженном состоянии, подчиняющейся закону Гука, с
жесткостью с (см. рис. 3). Пусть х и у' = I + X + + у - декартовы
координаты массы т, отсчитываемые от точки подвеса О, где X = mg/c -
статическое удлинение пружины. Выберем постоянную потенциальной энергии V
силы тяжести и упругой силы пружины таким образом, чтобы она обращалась в
нуль для положения статического равновесия х = у = 0, и будем иметь
Обозначим через м = Jf dm круговую частоту вертикальных колебаний массы
на пружине и введем безразмерные время т = = cof и координаты | = х/l, ц
= у/l. Тогда уравнения движения запишутся в виде
где разложения правых частей в окрестности | - т] = 0 начинаются с членов
второй степени. Система (1.2) не содержит малого параметра, вместе с тем
в силу нарушения условия б) теоремы Ляпунова (п. 1,1.1), к ней неприменим
метод Ляпунова отыскания периодических решений. Поскольку система
консервативна и связи не зависят явно от времени, то имеет место интеграл
энергии
Т = ~тп (хг + у2),
-i- ]/2 (7' + Г) с = ц = const.
(1.3)
Это обстоятельство, а также применение подстановки Ляпунова
(1,1,2.3)
ПРОЦЕСС СРЫВА ВЕРТИКАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
65
позволяет понизить порядок системы (1.2) на две единицы. Общие формулы
для преобразования системы уравнений второго порядка указаны в п. 1,1.2.
Применительно к системе (1.2) будем иметь по формулам (1,1,2.6)
w'W=-rJT>; + 4. Я = -5jr^jr4+0<p),
(r) = 2 (1+7)5 'г 0 Zl = 2 ,Г:", 4 ¦Ь'ЛР)' 11
rj sin ¦& . COS •& 2 | y-\ i v
=------(1 + ^*1+ 2 (1 + yf Z^ + °(P)-
Уравнения (1,1,2.9) запишутся в виде (?ss zlt
-§r +T^r ? = - I* <1 + vr- [(i + tJy c! + ?")"sin" +
+('+-ttf ^f T" (4- Лтгc sin * -
__3.E'cosd)s]S + 0(|is). (1-6)
Тривиальное решение уравнения (1.6) 1 = 0 отвечает вертикальным
колебаниям
у = Y cos о (t - tQ) (1.7)
массы т на пружине с периодом ТВерт = 2л/"о.
В крайних положениях потенциальная энергия V массы, опре-
1
деляемая второй из формул (1.1), равна cY2. Воспользовавшись
интегралом энергии (1.3), получим для амплитуды вертикальных колебаний
выражение
Y = >. (1.8)
Устойчивость (1.7) исследована в п. 11,1.6 методами математической теории
параметрического резонанса. Единственная область неустойчивости в
плоскости пу определяется неравенством
(11,1,6.5).
, 1.2. Второй этап. Возникает вопрос об определении периодических решений
уравнения (1.6) (а в силу подстановки (1.4) и системы (1.2)), отличных от
тривиального.
Для отыскания периодических решений уравнения (1.6) применим метод малого
параметра для неавтономных систем с одной степенью свободы в форме,
предложенной Пуанкаре [107а], т. I, гл. III. Будем искать это решение в
виде ряда (п. I, 2.1).
S (О) = So (в) + uSi (в) + !*¦?. (в) + • •••
3 В. М. Старшинский
66
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ МАЛОГО ПАРАМЕТРА
[ГЛ. III
и, подставляя этот ряд в уравнение (1.6), получим уравнения для-
нахождения ?0 и
-S-+TT^""0' <2-1)
"3F"+ i+v (1+т)! К1 +-r+7^ + t(,)l'sln(r) +
+ (' + TF7 й + Е"Г'(-2-ТТГ С"si"*^^"s9)^ (2.2)
Уравнение (2.1) обладает семейством Т (у)-периодических решений
?0 = М0 cos У (r)+N0 sin У
(г(Т) = 2Я-|/1±?). (2.3)
Решение (2.3) можно рассматривать и как qT (у)-периодиче-ское, где q -
любое натуральное число. Уравнение (1.6) зависит явно от независимой
переменной Ф и эту зависимость также можно рассматривать как р • 2л-
