Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
1=1 г, J=1 /с=1 ¦" 1
+
+
дук ! а^ эУк ! а^ аул
dqidqj dq4 2 а?
:+т4&")(1-2)
(v = 1,.. ., га).
Предполагая изучать по отношению к переменным
Яи • • -5 Яг, Яи • • •> Яг (г < п)
устойчивость невозмущенного движения
= ?vO (0. = fvo (0 (v = 1, • • ., n), (1.3)
обозначим значения координат и скоростей для возмущенного движения
qv = qvo (t) + = gv0 (0 + й, (v = 1, . . ., га).
Уравнения первого приближения возмущенного движения (уравнения в
вариациях) представим в виде
СВОБОДНЫЕ, НЕ ЦЕЛИКОМ УПРУГИЕ ЦЕПИ
53
Здесь
/С=1 }=1
+ • • У jo (0 +
2 dq^dqidql dq. 2 dq^dqt dqjdqj
(v=l ,...,n).
f dq^dqidqjdql ~ dqidqfiql dqv
Индекс нуль при avi и частных производных означает подстановку в их
значения q10 (t), . . ., qn0 (t); q10 (t), . . ., c}no (t). В выражениях
для (t), cVj (t) многоточием отмечены члены, получаю-
щиеся заменой х на у.
В п. 1.1 введено определение: рассматриваемая механическая система
называется "колебательной цепью" относительно невоз-мущенного движения
(1.3), если возможно выбрать такие лагран-жевы координаты, при которых
коэффициенты (a,,j)0, b^i (I) и cvj (t) таковы, что для некоторого
натурального т <^п и t t0 выполнены условия (1,1.7) - (1,1.10).
Условия (1,1.7)-(1,1.10) означают, что уравнения в вариациях
(1.4) разбиваются на две группы (1,1.11) и (1,1.12) из т и п -т
уравнений.
Уравнения (1,1.11) и (1,1.12) разрешимы относительно старших производных
в силу положительности кинетической энергии Т.
2.2. Кинетическая и потенциальная энергии. Рассмотрим свободную, целиком
упругую колебательную цепь, состоящую из N масс тг, . . ., т^,
соединенных последовательно N невесомыми пружинами с жесткостями сг, . .
., с у и длинами в ненапряженном состоянии 1г, . . ., Z;v (см. рис. 2).
Начало первой пружины закреплено в точке О, начала каждой из последующих
прикреплены к невесомым шарнирам, оси которых обуславливают плоский
характер движения. Пусть одна группа из h пружин заменена нерастяжимыми
невесомыми стержнями; допустим, что это будут стержни, соединяющие массы
mf, mf+1, . . ., mf+h. Таким образом, кроме Лг тривиальных связей - 0, .
. ., zn = 0, на систему наложено h связей
(•?/+1) xf+ D-l)2 "Ь (j//+D Mf\D-l)2 = ^/+1) (*1 = • • •! h),
где Хч, у'ч -декартовы координаты массы тга" (v = 1, . . ., N; хо - У о =
0)- Однако абсциссы (или ординаты) масс mf+1, . . . . . ., mf+h не
являются теперь лагранжевыми (определяющими)
54 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЦЕПИ [ГЛ. II
координатами. За 2N - h координат примем
#1, . . Xj'i Ф/+1, . . Ф/+Й> %f+h+li • • ч *EN>
Ух - Ух - yf = y'f - (Lx -f . . . -f- Lf),
yf+h+1 = y'f+h+1 - (Lx -j- . . . -j- Lf+h+l), • • •> У1Я =
= y'N - (Lx + • . . + Ln). Здесь Lk есть длина к-й пружины в напряженном
состоянии (к = = 1, / + fe + 1, N), либо длина жесткого
стержня
(к = f + 1, ...,/ + h), т. е. Lk = 1к + %к, где %к - статическое
удлинение к-й пружины
К = ((tm)к + (tm)к+1 + • • • + rnN) g/ck
(к - 1, . . /, / + h -f- 1, . . N; Xf+1 = . . . =
A,/+h = 0).
Таким образом, координаты yx, . . ., yf, y/+h+1, уn равны
отклонениям по вертикали соответствующих масс от нижнего положения
равновесия. Координаты ф/+1, . . ., (pf+h суть полярные^ углы,
отсчитываемые от оси Оу до стержней lf+1, . . ., lf+h по направлению
часовой стрелки.
Кинетическая энергия Т системы равна х)
N h
Т = ~y ^ тпк{±\ -f- у\) -f- ^ Щ+ъ |(ж/ +!//) +
к=1 ч=1
И
+ г/+аф/-и [г/+<хф/-Нх + 2 (я, COS ф(+а - у, sin ф/+а)] +'
а=1
п
+ 2 Xl г/^/+рф/-иф/+р COS (ф/+" - ф/+р)} • (2Л)
а, 0=1
а<Р
Потенциальную энергию V линейных сил упругости пружин
и сил тяжести запишем в виде
/ N
V = - g S (щ+1 + • • • + (tm)/+h + (tm)а) У а - g S mpyp -
а=1 3 =/ +М-1
h N
- g ^ (tm)/+А-и cos ф/+ч + - ^ ^ [(жк - a*-!)2 +
n=l /e=i
+ A + ^k -f- yk - г/fc-i)2 -
N
- S CA /(ж;с - Zfc-i)2 + A + A -f- yk - г/ic-i)2 , (2-2)
*=i
рассматривая всюду арифметические значения корня и принимая Xf+h = lf+h
sin Ф/+Я, yf+h = ^+h (cos ф/+/г - 1). Штрих у 2 озна-
!) В формуле (2.1) статьи [322 в] допущена ошибка, здесь
исправленная.
СВОБОДНЫЕ, НЕ ЦЕЛИКОМ УПРУГИЕ ЦЕПИ
55
чает, что при суммировании должны быть пропущены слагаемые, отвечающие к
= / + 1, ...,/ + h. Аналогично п. 1.2 нетрудно показать, что имеется 2^
положений равновесия свободной, не целиком упругой колебательной цепи.
Имеет место и теорема п. 1.3: нижнее положение равновесия (отвечающее
нулевым значениям лагранжевых координат) асимптотически устойчиво в
большом при наличии сил сопротивления, работа которых отрицательна при
любом возможном перемещении.
Обозначим теперь лагранжевы координаты, записанные в той
последовательности, в которой они были введены, через qlt . . . q2N-h•
Для в выражениях (1.1) будем иметь
Q" = (v = 1, - , ге),
а для выделенных сил сопротивления допустим, что
Rk = Rk "1, ¦ • М (n) (к = 1, . . ., N),
Rn+з - Rn+} (4n+ i, • • ЦъN-h) (J = 1, . . ., N -h),
Rv (0, . . ., 0) = 0 (v = 1, . . ., 2N - h).
Уравнения (1.2) допускают решение (вертикальные колебания свободной, не
