Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
что
/¦
2% (р)
Так как решения (4.7) при
ГАУССОВСКОЕ РЕШЕНИЕ
145
оператор А является симметрическим оператором в
Отсюда следует, что полиномы Gn ортогональны с ве-
полиномы Эрмита. Можно дать и другое, чисто вероятностное, доказательство
того, почему здесь появляются полиномы Эрмита (см. далее).
Из приведенных рассуждений также следует, что собственные функции Gn
образуют полную ортогональную систему в пространстве j?2 [i?1, ехр |- с 1
z1 IV
Заметим, далее, что в наших задачах мы будем иметь дело с четными
гамильтонианами, т. е. гамильтонианами, инвариантными относительно "±"-
симметрии, при которой ф(У(?г)) -> - ф(У(п)). Поэтому спектр оператора А
следует исследовать только в пространстве четных функций, и стало быть,
нас интересуют только четные
гг = 2гг', гг'= 0, 1, 2, _ Наконец, нас интересуют
только такие возмущения G, при которых h0 + sG с точностью до малых
высшего по е порядка остается распределением вероятностей. Это означает,
что мы должны в результате отбросить константы и рассмотреть спектр
оператора А в подпространстве четных функций, интеграл от которых с
соответствующим весом равен нулю, т. е. числа Яг, Я4, Яб, .... Заметим,
что
гильбертовом пространстве Действительно, для любых G\ G" имеем
оо
j (AGr) -G" ехр |- ~j^r~ z2J dz =
- 00
00 00
00 00
= 1 ^-4-V2!Mt7T+")G'Wx
V -OO -OO ' V '
- OO -OO
OO
OO
(AG") G' exp I- ^±zAdz.
А это и есть, по определению,
146
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 2-ГО РОДА
[ГЛ.. 4
%2 = 2с-1 > 1 при всех с, 1 < с < 2. Далее, = 2с-2 > >^б>__________
Возвращаясь к описанной выше общей кар-
тине, мы ожидаем, что гауссовское решение термодинамически устойчиво,
если А,4<1, т. е. с>У2. Действительно, справедлива следующая теорема.
Теорема 4.1. Пусть У2<с<2 и фиксированы Рс^ >0, е > 0. Тогда найдется
такое щ и открытое множество U в пространстве четных гамильтонианов Япо
(Ф(ТЧ)), что для любого Нп^и существует
Рсг = Рсг (#"0), I Per - Рс?} I < е такое, что распреде-ление
вероятностей, отвечающее функции gn(z; рсг)" слабо сходится при п -+¦ оо
к гауссовскому распределению.
Доказательство теоремы удобно проводить, следя за так называемыми малыми
статистическими суммами
(t; Р)=/я (t; P) S"(P),
Sn(P)= 2 е~рЯп(ф(у(?!))).
ф(у(п))
Из (4.2) следует, что
Я"+1 Р) -
= ехр (pc"+12-2(n+1)i2} 2 Zn("i;p)ZB(it;p). (4.9)
2~~^
Здесь t\, ?2 - четные целые, UJ, U2l^2n, Ul^2n+1. В основе рассуждений
лежат индуктивные предположения о структуре Zn(t; р). Мы покажем, что из
их справедливости на п-м шагу вытекает их справедливость на (тг+1)-м
шагу. Затем мы отдельно обсудим выполнение этих предположений при п = щ.
Та точка Р, при которой индуктивные предположения выполнены при всех п, и
окажется критической.
Индуктивные предположения. Пусть Din) = {t: \t\ < ^ DVnc~nl22n), D = D(c)
- постоянная, которую мы потом предположим достаточно большой, N = N(c)-
целое, которое также надо будет потом выбрать достаточно большим. Удобно
на 7г-м шагу пользоваться вместо переменной t переменной z, z =
сп/22~п~Ч, возникающей от нормировки в критической точке (см.
ГАУССОВСКОЕ РЕШЕНИЕ
147
выше). Отрезок D{n) в переменных z имеет вид D{n) = {z: \z\ <Dl/h}.
Предположим, что на п-ш шагу дан отрезок р(п) = значений параметра р, при
котором выполнены формулируемые ниже индуктивные предположения.
Indin)) для всех р е р(п) и zg D{n)
Zn (t; P) = Ln (p) cn/a2-"-1 exp {- a0 (P) za -
- Bin) (P) (2c-x)"Ga (2; p) - B[n) (p) (2С"2)Х (z; p) -
- 2 p) (2C-2)XG2fe(z; p)-
h= 3
-<?(п)(2;р)-Д(и)(2;р)}. (4.10)
Здесь Ln(p)- постоянная, зависящая только от р и
/г, р) - полиномы Эрмита, отвечающие гауссов-
l/W / о 21 2а0(Р)(с-1)
ской плотности }/ ехр - pyz2), у =---^-------------------,
- постоянная, 0<A,i<l; функция Q{n){z; р) определена при всех
действительных js, четна по п, ограничена и
j <?<П) (z; Р) Gik (z; р) е"13^ = 0, 0 < Л < N,
|<?(n)(z;p)|<^ (2с-2)" при 2ей(п); функция Rin)(z; р) определена при z =
cn/22~nt ей(гг), t - четное целое, 112п и | Д(п) (z; р) | ^ Kln/2
(2с~2)п. В дальнейшем A,i будет предполагаться достаточно
близким к 1.
- непрерывная функция р,
В(2п) (р(_и)) = В[п) (p(+n)) = - с~п
и | <Р) | < }"<Гп при всех ре р<">.
Ind(3n)). При всех t Ф Din)
Zn{t; Р)<
< Ln (Р) Л-"-1 ехр{- ай (р) с"2"2п?2- В[п)_ф)2~зп^} =
148
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ .2-ГО РОДА
[ГЛ. 4
= Ln (р) сп,%2-п~х ехр {- я0 (р) z2 - В[п) (р) (2c~2)'V},
#4П) (Р) > 0- постоянная; (Р) <: j /?(4П) (Р).
Ind(4 ). Все величины Ьп, в[(tm)\ в{п) непрерывно зависят от [}, Q{n) и R{n)
непрерывно зависят от {J при каждом z.
Основная лемма. Пусть выполнены Indin) - - Ind(4n). Тогда найдется такой
отрезок [}(п+1) с= для которого статистические суммы Zn+\(t; [})
удовлетворяют Ind(1n+1) - Ind(4"+1).npn этом найдется постоянная %2 < 1
такая, что
| вТ - в[п+1) I < к",
i Bil+1) - c-^+V1^ | < К, к = 3, 4, ... , N, Q(n+1) (z; р) = А (Р) (<?(п)
(г; Р)) + Q[n> (z; Р),
где | Cin) (z> Р) I ^ const 7z2JVA|n/2 (2с~2)", const не зави-сит от п,
оператор Ж{}) определен в (4.8'). Постоянная ВУ1*1* = В^ (l - nNXln/2).
